[2.5 Pontos] Usando transformada de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial com condição inicial:
Informações fornecidas:
- A equação diferencial de primeira ordem linear não homogênea é
. - A condição inicial é
. - A instrução diz para usar a transformada de Laplace — portanto precisamos transformar a equação em equação algébrica em
, resolver para e então aplicar a transformada inversa para obter .]
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa (na prática aqui tratamos
como variável real positiva suficiente).
- Propriedade linearidade: para constantes
,
- Transformada da derivada (essencial para equações diferenciais com condição inicial): se
e é razoável, então
Aqui precisamos entender que
é a transformada de
e
é a condição inicial que aparece automaticamente.
- Transformadas padrão que usaremos:
Vou usar essas fórmulas para transformar os termos da equação.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, temos:
- Pela propriedade da derivada,
- Pela linearidade,
- Pela transformada de
,
Colocando tudo na equação transformada:
Passo 4
Resolver a equação algébrica obtida para
. Junta os termos em
:
Então
Dividindo por
,
Agora temos
expressa como soma de duas frações racionais; para aplicar a transformada inversa precisamos decompor a segunda fração em parcelas simples.
Passo 5
Fazer a decomposição em frações parciais de
.
Procuramos constantes tais que
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Expandindo:
Comparando coeficientes de potências de
temos o sistema:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
⇒ .
Com
, da segunda equação
⇒
.
Da primeira ⇒
.
Da primeira
Portanto a decomposição é
Passo 6
Substituir a decomposição em
e agrupar termos semelhantes:
Agrupando os termos com
:
Logo
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando:
Passo 7
Calcular
aplicando a transformada inversa a cada parcela:
Simplificando:
Vou fazer uma checagem rápida da condição inicial para ganhar confiança: em
,
que bate com a condição inicial
. Perfeito.