[2.5 Pontos] Usando transformada de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{r} y^{\prime}+4 y=4 t \\\ y(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial com condição inicial:
\begin{cases} y'(t)+4y(t)=4t,\\[4pt] y(0)=2. \end{cases}
Informações fornecidas:
  1. A equação diferencial de primeira ordem linear não homogênea é \;y'+4y=4t\;.
  2. A condição inicial é \;y(0)=2\;.
  3. A instrução diz para usar a transformada de Laplace — portanto precisamos transformar a equação em equação algébrica em s, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e então aplicar a transformada inversa para obter y(t).]

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática aqui tratamos s como variável real positiva suficiente).
  • Propriedade linearidade: para constantes a,b,
\mathcal{L}\{a f(t)+ b g(t)\}(s) = a\mathcal{L}\{f(t)\}(s) + b\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  • Transformada da derivada (essencial para equações diferenciais com condição inicial): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e y é razoável, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Aqui precisamos entender que Y(s) é a transformada de y(t) e y(0) é a condição inicial que aparece automaticamente.
  • Transformadas padrão que usaremos:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}.
Vou usar essas fórmulas para transformar os termos da equação.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos:
  • Pela propriedade da derivada,
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-2.
  • Pela linearidade,
\mathcal{L}\{4y(t)\}(s)=4Y(s).
  • Pela transformada de 4t,
\mathcal{L}\{4t\}(s)=4\mathcal{L}\{t\}(s)=4\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{4}{s^{2}}.
Colocando tudo na equação transformada:
sY(s)-2 + 4Y(s) = \frac{4}{s^{2}}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica obtida para Y(s). Junta os termos em Y(s):
(s+4)Y(s)-2=\frac{4}{s^{2}}.
Então
(s+4)Y(s)=2+\frac{4}{s^{2}}.
Dividindo por (s+4),
Y(s)=\frac{2}{s+4}+\frac{4}{s^{2}(s+4)}.
Agora temos Y(s) expressa como soma de duas frações racionais; para aplicar a transformada inversa precisamos decompor a segunda fração em parcelas simples.

Passo 5

Fazer a decomposição em frações parciais de \displaystyle \frac{4}{s^{2}(s+4)}.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{4}{s^{2}(s+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+4) obtemos a identidade polinomial
4 = A s(s+4) + B (s+4) + C s^{2}.
Expandindo:
4 = (A+C)s^{2} + (4A + B)s + 4B.
Comparando coeficientes de potências de s temos o sistema:
  • Coeficiente de s^{2}: A + C = 0.
  • Coeficiente de s: 4A + B = 0.
  • Termo constante: 4B = 4 B=1.
Com B=1, da segunda equação 4A + 1 = 0 A = -\tfrac{1}{4}.
Da primeira A + C = 0 C = -A = \tfrac{1}{4}.
Portanto a decomposição é
\frac{4}{s^{2}(s+4)} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 6

Substituir a decomposição em Y(s) e agrupar termos semelhantes:
Y(s)=\frac{2}{s+4} +\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{2}} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4}\right).
Agrupando os termos com \frac{1}{s+4}:
\frac{2}{s+4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s+4} = \frac{2+\tfrac{1}{4}}{s+4} = \frac{\tfrac{9}{4}}{s+4}.
Logo
Y(s) = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{2}} + \frac{9}{4}\cdot\frac{1}{s+4}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}.

Passo 7

Calcular y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} aplicando a transformada inversa a cada parcela:
y(t) = -\frac{1}{4}\cdot 1 + t + \frac{9}{4}\cdot e^{-4t}.
Simplificando:
y(t)=t-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}e^{-4t}.
Vou fazer uma checagem rápida da condição inicial para ganhar confiança: em t=0,
y(0)=0-\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4}\cdot 1 = \tfrac{8}{4}=2,
que bate com a condição inicial y(0)=2. Perfeito.

Resposta

y(t)=t-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}e^{-4t}

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