Questão 4.

[3.0 Pontos] Usando transformada de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{r} y^{\prime \prime}-y=-t \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''-y=-t,\\[4pt] y(0)=0,\;y'(0)=1. \end{cases}
Pergunta: determinar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Informações relevantes: a equação é linear com coeficientes constantes e o termo não homogêneo é -t. As condições iniciais em t=0 são y(0)=0 e y'(0)=1.]

Passo 2

Vamos lembrar a definição e as propriedades da transformada de Laplace que usaremos.
Definição: para uma função f(t) (adequada para Laplace) definimos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedades que vamos aplicar:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  1. Derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
(Estas fórmulas vêm de integrar por partes duas vezes; elas incorporam as condições iniciais.)
  1. Transformada de potências de t: para n inteiro não-negativo,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Em particular, para t (que é t^{1}),
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Também usaremos que a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} recupera a função do seu Y(s).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
y''-y=-t.
Pela linearidade e pelas fórmulas de derivada temos
\mathcal{L}\{y''\}(s)-\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{-t\}(s).
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-Y(s)=-\mathcal{L}\{t\}(s).
Agora inserimos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 e a transformada de t:
\bigl(s^{2}Y(s)-0-1\bigr)-Y(s)=-\frac{1}{s^{2}}.
Simplificando o lado esquerdo:
(s^{2}-1)Y(s)-1=-\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Isolamos Y(s). Primeiro passamos o -1 para o outro lado:
(s^{2}-1)Y(s)=1-\frac{1}{s^{2}}.
Colocamos em denominador comum no lado direito:
1-\frac{1}{s^{2}}=\frac{s^{2}-1}{s^{2}}.
Portanto
(s^{2}-1)Y(s)=\frac{s^{2}-1}{s^{2}}.
Como estamos considerando valores de s onde s^{2}-1\neq 0 (a transformada está definida para s suficientemente grande), podemos dividir ambos os lados por s^{2}-1 e obtemos a simplificação notável:
Y(s)=\frac{1}{s^{2}}.
(Observação: essa simplificação mostra que a contribuição dos termos envolvendo s^{2}-1 se cancela.)

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Usando a fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} com n=1, temos \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}. Logo a transformada inversa de Y(s)=\dfrac{1}{s^{2}} é
y(t)=t.
Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança): se y(t)=t então y'(t)=1 e y''(t)=0. Substituindo na equação original:
y''-y=0-t=-t,
que coincide com o lado direito. E as condições iniciais: y(0)=0, y'(0)=1 batem. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(t)=t

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