Questão 4.
[3.0 Pontos] Usando transformada de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Pergunta: determinar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais. Informações relevantes: a equação é linear com coeficientes constantes e o termo não homogêneo é
. As condições iniciais em
são
e
.]
Passo 2
Vamos lembrar a definição e as propriedades da transformada de Laplace que usaremos.
Definição: para uma função
(adequada para Laplace) definimos
Propriedades que vamos aplicar:
- Linearidade:
- Derivadas: se
, então
(Estas fórmulas vêm de integrar por partes duas vezes; elas incorporam as condições iniciais.)
- Transformada de potências de
: para inteiro não-negativo,
Em particular, para
(que é
),
Também usaremos que a transformada inversa
recupera a função do seu
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação
Pela linearidade e pelas fórmulas de derivada temos
Substituindo as expressões:
Agora inserimos as condições iniciais
e
e a transformada de
:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Isolamos
. Primeiro passamos o
para o outro lado:
Colocamos em denominador comum no lado direito:
Portanto
Como estamos considerando valores de
onde
(a transformada está definida para
suficientemente grande), podemos dividir ambos os lados por
e obtemos a simplificação notável:
(Observação: essa simplificação mostra que a contribuição dos termos envolvendo
se cancela.)
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa. Usando a fórmula
com
, temos
. Logo a transformada inversa de
é
Verificação rápida (sempre bom para ganhar confiança): se
então
e
. Substituindo na equação original:
que coincide com o lado direito. E as condições iniciais:
,
batem. Portanto a solução está correta.