Em quais pontos o gráfico da função f(x)=x^{2}+ 4 x-1 possui tangente horizontal?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+4x-1 e pergunta em quais pontos do gráfico dessa função existe tangente horizontal. Informações relevantes: a expressão algébrica de f (um polinômio de grau 2). A pergunta é exatamente: encontrar os pontos (x,y) do plano onde a reta tangente ao gráfico de f é horizontal.

Passo 2

O que significa “tangente horizontal”? Uma reta é horizontal quando sua inclinação (coeficiente angular, chamado de “slope”) é igual a 0. No contexto de funções, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f num ponto x é dada pela derivada f'(x). Portanto, buscar tangente horizontal equivale a resolver a equação
f'(x)=0.

Passo 3

Explicando o que é derivada de um jeito prático: a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x, isto é, a inclinação da reta que “encosta” no gráfico em x. Para polinômios usamos regras básicas:
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Regra da constante: a derivada de uma constante é 0.
  • Regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de x^{2} é 2x; a derivada de x é 1.

Passo 4

Aplicando essas regras à nossa função f(x)=x^{2}+4x-1:
  • derivada de x^{2} é 2x,
  • derivada de 4x é 4 (constante multiplicativa: 4\cdot 1),
  • derivada de -1 é 0.
    Portanto
f'(x)=2x+4.

Passo 5

Agora impomos a condição de tangente horizontal:
2x+4=0.
Essa é uma equação linear simples; subtraindo 4 e dividindo por 2 obtemos
x=-2.

Passo 6

Precisamos do ponto do gráfico, ou seja, a ordenada correspondente a x=-2. Calculamos f(-2):
f(-2)=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-1=4-8-1=-5.
Também podemos checar que f'(-2)=2(-2)+4=0, confirmando que a inclinação aí é zero.

Passo 7

Conclusão do raciocínio: existe uma única abscissa x=-2 que faz f'(x)=0, e o ponto no gráfico é (-2,-5). Esse é o ponto onde a reta tangente é horizontal.

Resposta

(-2,-5)

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