Em quais pontos o gráfico da função
possui tangente horizontal?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta em quais pontos do gráfico dessa função existe tangente horizontal. Informações relevantes: a expressão algébrica de
(um polinômio de grau 2). A pergunta é exatamente: encontrar os pontos
do plano onde a reta tangente ao gráfico de
é horizontal.
Passo 2
O que significa “tangente horizontal”? Uma reta é horizontal quando sua inclinação (coeficiente angular, chamado de “slope”) é igual a
. No contexto de funções, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
num ponto
é dada pela derivada
. Portanto, buscar tangente horizontal equivale a resolver a equação
Passo 3
Explicando o que é derivada de um jeito prático: a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
, isto é, a inclinação da reta que “encosta” no gráfico em
. Para polinômios usamos regras básicas:
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra da constante: a derivada de uma constante é
. - Regra do poder (power rule): a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é ; a derivada de é .
Passo 4
Aplicando essas regras à nossa função
:
- derivada de
é , - derivada de
é (constante multiplicativa: ), - derivada de
é .
Portanto
Passo 5
Agora impomos a condição de tangente horizontal:
Essa é uma equação linear simples; subtraindo
e dividindo por
obtemos
Passo 6
Precisamos do ponto do gráfico, ou seja, a ordenada correspondente a
. Calculamos
:
Também podemos checar que
, confirmando que a inclinação aí é zero.
Passo 7
Conclusão do raciocínio: existe uma única abscissa
que faz
, e o ponto no gráfico é
. Esse é o ponto onde a reta tangente é horizontal.