2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada da função dada. Informações do enunciado:
- A função é
. - A tarefa: calcular
usando técnicas de derivação.
Passo 2
Escolha do método: a expressão aparece como produto de duas funções
e
. Há duas formas naturais de proceder:
- Método A (mais elementar): primeiro expandir o produto como polinômio e depois derivar termo a termo com a regra da potência. É direto e seguro em provas quando os graus são baixos.
- Método B (regra do produto): aplicar diretamente a regra do produto sem expandir. É mais eficiente quando os fatores são complicados.
Vou mostrar os dois métodos passo a passo (assim você fica à vontade para usar o que achar melhor na prova).
Passo 3
Relembrando as regras básicas que vou usar:
- Regra da potência: para qualquer inteiro
,
- Derivada de uma constante é zero.
- Derivada de soma e produto por constante: derivada é linear, ou seja, deriva-se termo a termo e constantes saem multiplicando.
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui vou aplicar essas fórmulas explicitamente.
Passo 4
Primeiro expandir o produto
multiplicando termo a termo:
Calcule cada produto:
Somando os termos semelhantes obtemos o polinômio:
Agora derivar termo a termo usando a regra da potência:
Somando:
Passo 5
Aqui fazemos
e
.
Calcular e
:
Calcular
Aplicando a regra do produto:
Agora expandir e simplificar passo a passo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo: multiplicar
:
Somando os quatro:
.
Agora somar com o primeiro termo:
Agora somar com o primeiro termo:
Resultado igual ao do Método A, como esperado.
Passo 6
- Nos exames: se os fatores são polinômios de grau baixo, expandir costuma ser rápido; se um fator é complicado (expoentes grandes, funções trigonométricas etc.), a regra do produto evita trabalho extra.
- Você fez certo escolhendo um caminho — praticar os dois te dá flexibilidade. Vai dar tudo certo, força aí!