2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
f(x)=(4 x-3) \cdot\left(x^{2}+5 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada da função dada. Informações do enunciado:
  • A função é f(x)=(4 x-3)\cdot\left(x^{2}+5 x\right).
  • A tarefa: calcular f'(x) usando técnicas de derivação.

Passo 2

Escolha do método: a expressão aparece como produto de duas funções (4x-3) e (x^2+5x). Há duas formas naturais de proceder:
  • Método A (mais elementar): primeiro expandir o produto como polinômio e depois derivar termo a termo com a regra da potência. É direto e seguro em provas quando os graus são baixos.
  • Método B (regra do produto): aplicar diretamente a regra do produto sem expandir. É mais eficiente quando os fatores são complicados.
Vou mostrar os dois métodos passo a passo (assim você fica à vontade para usar o que achar melhor na prova).

Passo 3

Relembrando as regras básicas que vou usar:
  • Regra da potência: para qualquer inteiro n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
  • Derivada de uma constante é zero.
  • Derivada de soma e produto por constante: derivada é linear, ou seja, deriva-se termo a termo e constantes saem multiplicando.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui vou aplicar essas fórmulas explicitamente.

Passo 4

Primeiro expandir o produto (4x-3)(x^2+5x) multiplicando termo a termo:
(4x-3)(x^2+5x)=4x\cdot x^2 + 4x\cdot 5x + (-3)\cdot x^2 + (-3)\cdot 5x.
Calcule cada produto:
4x\cdot x^2 = 4x^{3}, \qquad 4x\cdot 5x = 20x^{2}, \qquad -3\cdot x^2 = -3x^{2}, \qquad -3\cdot 5x = -15x.
Somando os termos semelhantes obtemos o polinômio:
f(x)=4x^{3} + (20x^{2}-3x^{2}) -15x = 4x^{3}+17x^{2}-15x.
Agora derivar termo a termo usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)=4\cdot 3x^{2}=12x^{2},
\frac{d}{dx}\big(17x^{2}\big)=17\cdot 2x=34x,
\frac{d}{dx}\big(-15x\big)=-15.
Somando:
f'(x)=12x^{2}+34x-15.

Passo 5

Aqui fazemos u(x)=4x-3 e v(x)=x^{2}+5x.
Calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(4x-3)=4, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+5x)=2x+5.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=4\,(x^{2}+5x)+(4x-3)\,(2x+5).
Agora expandir e simplificar passo a passo:
Primeiro termo:
4\,(x^{2}+5x)=4x^{2}+20x.
Segundo termo: multiplicar (4x-3)(2x+5):
4x\cdot 2x = 8x^{2},\quad 4x\cdot 5 = 20x,\quad -3\cdot 2x = -6x,\quad -3\cdot 5 = -15.
Somando os quatro: 8x^{2}+14x-15.
Agora somar com o primeiro termo:
(4x^{2}+20x)+(8x^{2}+14x-15)=12x^{2}+34x-15.
Resultado igual ao do Método A, como esperado.

Passo 6

  • Nos exames: se os fatores são polinômios de grau baixo, expandir costuma ser rápido; se um fator é complicado (expoentes grandes, funções trigonométricas etc.), a regra do produto evita trabalho extra.
  • Você fez certo escolhendo um caminho — praticar os dois te dá flexibilidade. Vai dar tudo certo, força aí!

Resposta

f'(x)=12x^{2}+34x-15

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