2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
f(x)=5 x^{3}+\pi^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=5x^{3}+\pi^{2}\, e pede para obter a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um termo \,5x^{3}\, que depende de x.
  • Há um termo \,\pi^{2}\, que é um número constante (o quadrado de \pi).
  • O objetivo é calcular \,f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)\,.

Passo 2

Regra de linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
Aqui u(x) e v(x) são quaisquer funções de x. Isso significa que posso derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Regra do fator constante e regra da potência:
  • Fator constante:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde c é um número constante e g(x) é função de x.
  • Regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
onde n é um número real (no nosso caso n=3).

Passo 4

Derivada de uma constante: se c é um número que não depende de x, então
\frac{d}{dx}c=0.
No problema, \pi^{2} é uma constante, logo sua derivada será zero.

Passo 5

Aplicando as regras ao problema passo a passo:
f(x)=5x^{3}+\pi^{2}.
Usando a linearidade,
\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\big(5x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(\pi^{2}\big).
Pela regra do fator constante e da potência,
\frac{d}{dx}\big(5x^{3}\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=5\cdot(3x^{2})=15x^{2}.
E pela derivada de constante,
\frac{d}{dx}\big(\pi^{2}\big)=0.
Somando os resultados:
\frac{d}{dx}f(x)=15x^{2}+0=15x^{2}.

Resposta

15x^{2}

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