(Pontuação: 1,0) Usando a definição, f^{\prime}\left(x_{1}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}, determine a derivada da função:
f(x)=\frac{2 x+1}{x-4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a derivada de f no ponto genérico x_{1} usando a definição
f^{\prime}\left(x_{1}\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x}.
  • Dado: a função
f(x)=\frac{2x+1}{x-4}.
  • Informação importante sobre domínio: f não está definida em x=4. Logo só faz sentido buscar f^{\prime}(x_{1}) para x_{1}\neq 4.

Passo 2

Calcular f\left(x_{1}+\Delta x\right). Substituindo x=x_{1}+\Delta x em f:
f\left(x_{1}+\Delta x\right)=\frac{2(x_{1}+\Delta x)+1}{(x_{1}+\Delta x)-4} =\frac{2x_{1}+2\Delta x+1}{x_{1}-4+\Delta x}.

Passo 3

Escrever o quociente incremental (diferença quociente):
\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x} = \frac{\dfrac{2x_{1}+2\Delta x+1}{x_{1}-4+\Delta x}-\dfrac{2x_{1}+1}{x_{1}-4}}{\Delta x}.
Para simplificar, primeiro colocamos as duas frações sobre um denominador comum. O numerador dessa grande fração é
\frac{(2x_{1}+2\Delta x+1)(x_{1}-4)-(2x_{1}+1)(x_{1}-4+\Delta x)}{(x_{1}-4+\Delta x)(x_{1}-4)}.
Portanto o quociente incremental fica
\frac{(2x_{1}+2\Delta x+1)(x_{1}-4)-(2x_{1}+1)(x_{1}-4+\Delta x)}{\Delta x\,(x_{1}-4+\Delta x)(x_{1}-4)}.

Passo 4

Simplificar o numerador expandindo e cancelando termos que se repetem:
Calculemos
(2x_{1}+2\Delta x+1)(x_{1}-4)=(2x_{1}+1)(x_{1}-4)+2\Delta x\,(x_{1}-4),
e
(2x_{1}+1)(x_{1}-4+\Delta x)=(2x_{1}+1)(x_{1}-4)+(2x_{1}+1)\Delta x.
Subtraindo as duas expressões, os termos (2x_{1}+1)(x_{1}-4) se cancelam, sobrando
2\Delta x\,(x_{1}-4)-(2x_{1}+1)\Delta x =\Delta x\bigl(2(x_{1}-4)-(2x_{1}+1)\bigr).
Calcule o parêntese:
2(x_{1}-4)-(2x_{1}+1)=2x_{1}-8-2x_{1}-1=-9.
Assim o numerador total é \Delta x\cdot(-9). Substituindo isso no quociente incremental:
\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x} = \frac{\Delta x\cdot(-9)}{\Delta x\,(x_{1}-4+\Delta x)(x_{1}-4)}.
Agora cancelamos \Delta x (para \Delta x\neq 0):
\frac{f\left(x_{1}+\Delta x\right)-f\left(x_{1}\right)}{\Delta x} = \frac{-9}{(x_{1}-4+\Delta x)(x_{1}-4)}.

Passo 5

Tomar o limite quando \Delta x\to 0:
f^{\prime}\left(x_{1}\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-9}{(x_{1}-4+\Delta x)(x_{1}-4)} =\frac{-9}{(x_{1}-4)^{2}},
válido para x_{1}\neq 4.
Pequena observação motivadora: dá pra checar que esse resultado coincide com o que obteríamos aplicando a regra do quociente (se preferir uma verificação rápida na prova), mas aqui usamos exatamente a definição como pedido.

Resposta

f^{\prime}\left(x_{1}\right)=-\frac{9}{(x_{1}-4)^{2}}

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