(Pontuação: 1,0) Usando a definição,
, determine a derivada da função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar a derivada de
no ponto genérico usando a definição
- Dado: a função
- Informação importante sobre domínio:
não está definida em . Logo só faz sentido buscar para .
Passo 2
Calcular
. Substituindo
em
:
Passo 3
Escrever o quociente incremental (diferença quociente):
Para simplificar, primeiro colocamos as duas frações sobre um denominador comum. O numerador dessa grande fração é
Portanto o quociente incremental fica
Passo 4
Simplificar o numerador expandindo e cancelando termos que se repetem:
Calculemos
Calculemos
e
Subtraindo as duas expressões, os termos
se cancelam, sobrando
Calcule o parêntese:
Assim o numerador total é
. Substituindo isso no quociente incremental:
Agora cancelamos
(para
):
Passo 5
Tomar o limite quando
:
válido para
.
Pequena observação motivadora: dá pra checar que esse resultado coincide com o que obteríamos aplicando a regra do quociente (se preferir uma verificação rápida na prova), mas aqui usamos exatamente a definição como pedido.