2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Lista das informações relevantes dadas:
- A função é
. - Domínio natural (onde a função está definida):
(porque o denominador não pode ser zero). - Pedido: encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Estratégia escolhida (mais simples para esta função): simplificar a função por divisão de polinômios antes de derivar. Motivo: o numerador e o denominador têm mesmo grau (grau 1), então dá para dividir e escrever
como uma soma de uma constante com uma função do tipo
, cuja derivada é direta.
Fazendo a divisão
:
- Multiplicador inicial:
, pois . - Subtrai-se:
.
Portanto a divisão dá quociente
e resto
, então
Passo 3
Agora derivamos termo a termo. Primeiro relembre as regras que vamos usar (aula curta):
- Regra da derivada de uma constante: se
é constante então . - Regra da potência (válida também para expoentes negativos): se
e com constante, então, pela combinação da regra da potência com a regra da cadeia, No caso simples tem . - Aplicando isso ao caso
:
Usando essas regras na forma simplificada
:
Calculando cada parte:
Substituindo:
Voltando à forma de fração:
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, só para ganhar confiança): usar a regra do quociente. Se
com
e
, a regra do quociente diz
Calcule:
Então
confirmando o resultado obtido antes.