2ㅇ) (Pontuação: 2,0) Utilize as técnicas de derivação para obter a derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{5 x-2}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{5x-2}{x+4}
Lista das informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5x-2}{x+4}.
  • Domínio natural (onde a função está definida): x\neq -4 (porque o denominador não pode ser zero).
  • Pedido: encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Estratégia escolhida (mais simples para esta função): simplificar a função por divisão de polinômios antes de derivar. Motivo: o numerador e o denominador têm mesmo grau (grau 1), então dá para dividir e escrever f como uma soma de uma constante com uma função do tipo (x+4)^{-1}, cuja derivada é direta.
Fazendo a divisão (5x-2)\div(x+4):
  • Multiplicador inicial: 5, pois 5\cdot(x+4)=5x+20.
  • Subtrai-se: (5x-2)-(5x+20)=-22.
Portanto a divisão dá quociente 5 e resto -22, então
f(x)=5+\frac{-22}{x+4}=5-\frac{22}{x+4}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Primeiro relembre as regras que vamos usar (aula curta):
  • Regra da derivada de uma constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}\big(c\big)=0.
  • Regra da potência (válida também para expoentes negativos): se g(x)=\big(h(x)\big)^{n} e h(x)=x+4 com n constante, então, pela combinação da regra da potência com a regra da cadeia, \frac{d}{dx}\big(h(x)^n\big)=n\,h(x)^{\,n-1}\cdot h'(x).No caso simples h(x)=x+4 tem h'(x)=1.
  • Aplicando isso ao caso (x+4)^{-1}: \frac{d}{dx}\big((x+4)^{-1}\big)=-1\,(x+4)^{-2}\cdot 1=-(x+4)^{-2}.
Usando essas regras na forma simplificada f(x)=5-22(x+4)^{-1}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(5\big)-22\cdot\frac{d}{dx}\big((x+4)^{-1}\big).
Calculando cada parte:
\frac{d}{dx}\big(5\big)=0, \qquad \frac{d}{dx}\big((x+4)^{-1}\big)=-(x+4)^{-2}.
Substituindo:
f'(x)=0-22\cdot\big(- (x+4)^{-2}\big)=22\,(x+4)^{-2}.
Voltando à forma de fração:
f'(x)=\frac{22}{(x+4)^{2}},\qquad x\neq -4.

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, só para ganhar confiança): usar a regra do quociente. Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=5x-2 e v(x)=x+4, a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}.
Calcule:
u'(x)=5,\qquad v'(x)=1.
Então
f'(x)=\frac{5(x+4)-(5x-2)\cdot 1}{(x+4)^2} =\frac{5x+20-5x+2}{(x+4)^2} =\frac{22}{(x+4)^2},
confirmando o resultado obtido antes.

Resposta

f'(x)=\frac{22}{(x+4)^{2}}

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