[2] - Prove que se
é não vazio e limitado inferiormente, então
possui ínfimo.
Passo 1
O enunciado pede que se prove: se
é não vazio e limitado inferiormente, então
possui ínfimo.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um subconjunto de . -
é não vazio (existe pelo menos um elemento em ). -
é limitado inferiormente: existe algum tal que para todo .
O que devemos mostrar concretamente: existe um número real
tal que
-
é uma cota inferior de (ou seja, para todo ), e -
é a maior entre as cotas inferiores (isto é, se for qualquer cota inferior de então ).
Esseé justamente .
Passo 2
Explicar as ferramentas que vamos usar (sem assumir que já sabe):
- Definição: diz-se que
é uma cota inferior de se para todo . - Definição:
(ínfimo) é a maior cota inferior de (se existir). Ou seja, é uma cota inferior e nenhuma outra cota inferior é maior que ela. - Propriedade fundamental dos reais (axioma da completude): todo subconjunto não vazio de
que é limitado superiormente possui supremo (menor cota superior) em . Denotando por esse menor limite superior.
Vamos usar essa propriedade transformando o problema de “cota inferior” em um problema de “cota superior” aplicável ao axioma da completude.
Passo 3
Construção útil (truque clássico): considere o conjunto
Comentário: cada elemento de
é o negativo de um elemento de
. Como
é não vazio,
também é não vazio (pegue qualquer
e então
).
Passo 4
Mostrar que
é limitado superiormente (esta é a parte em que usamos que
é limitado inferiormente).
Como é limitado inferiormente, existe
tal que
Como
Multiplicando essa desigualdade por
(lembrando que ao multiplicar por
a desigualdade inverte-se), obtemos
Mas
percorre exatamente os elementos de
. Assim
é uma cota superior de
. Portanto
é limitado superiormente.
Passo 5
Aplicar o axioma da completude ao conjunto
.
Como é não vazio e limitado superiormente, existe
Como
Ou seja,
é a menor das cotas superiores de
. Isso significa duas coisas importantes:
(i) para todo vale
;
(ii) se é qualquer cota superior de
, então
.
(i) para todo
(ii) se
Passo 6
Mostrar que
é cota inferior de
.
Tome qualquer . Então
, e pela (i) do passo anterior temos
. Reescrevendo essa desigualdade:
Tome qualquer
Como isso vale para todo
, concluímos que
é uma cota inferior de
.
Passo 7
Mostrar que
é a maior cota inferior (ou seja, o ínfimo).
Seja qualquer cota inferior de
. Então, por definição de cota inferior,
Seja
Multiplicando por
e invertendo desigualdade, obtemos
ou seja,
é uma cota superior de
. Pela propriedade (ii) do supremo
segue que
Multiplicando novamente por
(invertendo a desigualdade) obtemos
Portanto qualquer cota inferior
de
satisfaz
. Isso mostra que
é a maior cota inferior de
.
Passo 8
Concluir: juntando os resultados dos passos 6 e 7,
é uma cota inferior de
e é maior do que qualquer outra cota inferior; assim
. Logo,
possui ínfimo.
Observação prática e exemplo rápido: se
, então
tem
e
, que bate com o óbvio. Esse exemplo é só para intuir o truque de trocar sinais.