[2] - Prove que se A \subset \mathbb{R} é não vazio e limitado inferiormente, então A possui ínfimo.

Passo 1

O enunciado pede que se prove: se A\subset\mathbb{R} é não vazio e limitado inferiormente, então A possui ínfimo.
Informações dadas:
  • A é um subconjunto de \mathbb{R}.
  • A é não vazio (existe pelo menos um elemento em A).
  • A é limitado inferiormente: existe algum m\in\mathbb{R} tal que m\le a para todo a\in A.
O que devemos mostrar concretamente: existe um número real \alpha tal que
  1. \alpha é uma cota inferior de A (ou seja, \alpha\le a para todo a\in A), e
  2. \alpha é a maior entre as cotas inferiores (isto é, se L for qualquer cota inferior de A então L\le \alpha).
    Esse \alpha é justamente \inf A.

Passo 2

Explicar as ferramentas que vamos usar (sem assumir que já sabe):
  • Definição: diz-se que m é uma cota inferior de A se \,m\le a para todo a\in A.
  • Definição: \inf A (ínfimo) é a maior cota inferior de A (se existir). Ou seja, \inf A é uma cota inferior e nenhuma outra cota inferior é maior que ela.
  • Propriedade fundamental dos reais (axioma da completude): todo subconjunto não vazio de \mathbb{R} que é limitado superiormente possui supremo (menor cota superior) em \mathbb{R}. Denotando por \sup esse menor limite superior.
Vamos usar essa propriedade transformando o problema de “cota inferior” em um problema de “cota superior” aplicável ao axioma da completude.

Passo 3

Construção útil (truque clássico): considere o conjunto
B=\{-a \mid a\in A\}.
Comentário: cada elemento de B é o negativo de um elemento de A. Como A é não vazio, B também é não vazio (pegue qualquer a_0\in A e então -a_0\in B).

Passo 4

Mostrar que B é limitado superiormente (esta é a parte em que usamos que A é limitado inferiormente).
Como A é limitado inferiormente, existe m\in\mathbb{R} tal que
m\le a\quad\text{para todo }a\in A.
Multiplicando essa desigualdade por -1 (lembrando que ao multiplicar por -1 a desigualdade inverte-se), obtemos
-m \ge -a\quad\text{para todo }a\in A.
Mas -a percorre exatamente os elementos de B. Assim -m é uma cota superior de B. Portanto B é limitado superiormente.

Passo 5

Aplicar o axioma da completude ao conjunto B.
Como B é não vazio e limitado superiormente, existe
s=\sup B\in\mathbb{R}.
Ou seja, s é a menor das cotas superiores de B. Isso significa duas coisas importantes:
(i) para todo b\in B vale b\le s;
(ii) se u é qualquer cota superior de B, então s\le u.

Passo 6

Mostrar que -s é cota inferior de A.
Tome qualquer a\in A. Então -a\in B, e pela (i) do passo anterior temos -a\le s. Reescrevendo essa desigualdade:
-a\le s \quad\Longrightarrow\quad a\ge -s.
Como isso vale para todo a\in A, concluímos que -s é uma cota inferior de A.

Passo 7

Mostrar que -s é a maior cota inferior (ou seja, o ínfimo).
Seja L qualquer cota inferior de A. Então, por definição de cota inferior,
L\le a\quad\text{para todo }a\in A.
Multiplicando por -1 e invertendo desigualdade, obtemos
-L \ge -a\quad\text{para todo }a\in A,
ou seja, -L é uma cota superior de B. Pela propriedade (ii) do supremo s=\sup B segue que
s\le -L.
Multiplicando novamente por -1 (invertendo a desigualdade) obtemos
-L \ge s \quad\Longrightarrow\quad L\le -s.
Portanto qualquer cota inferior L de A satisfaz L\le -s. Isso mostra que -s é a maior cota inferior de A.

Passo 8

Concluir: juntando os resultados dos passos 6 e 7, -s é uma cota inferior de A e é maior do que qualquer outra cota inferior; assim -s=\inf A. Logo, A possui ínfimo.
Observação prática e exemplo rápido: se A=[1,3], então B=\{-1,-2,-3\} tem \sup B=-1 e \inf A=-\sup B=1, que bate com o óbvio. Esse exemplo é só para intuir o truque de trocar sinais.

Resposta

\inf A = -\sup\{-a : a\in A\}

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