Derive a fórmula abaixo:
\frac{d^{k} \sin (x)}{d x}=\sin \left(x+k \frac{\pi}{2}\right)=\left\{\begin{array}{l} (-1)^{\frac{k}{2}} \sin (x) \\\ (-1)^{\frac{k-1}{2}} \cos (x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se derive (i.e., prove) a fórmula para a derivada de ordem k\) da função \(\sin(x)\): \[\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right)
e a forma equivalente por paridade
\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\begin{cases} (-1)^{\frac{k}{2}}\sin(x), & \text{se \(k é par},\[6pt] (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cos(x), & se k é ímpar. \end{cases}]
Informações relevantes fornecidas: a função cuja derivada repetida se quer estudar é \sin(x); o índice da derivada é um inteiro não-negativo k. A tarefa é demonstrar as duas expressões acima e justificar cada passo de forma clara.]

Passo 2

Vamos calcular explicitly as primeiras derivadas de \sin(x) para ver o padrão (cada igualdade está isolada em display para ficar claro):
\frac{d^0}{dx^0}\sin(x)=\sin(x).
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
\frac{d^2}{dx^2}\sin(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
\frac{d^3}{dx^3}\sin(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\sin(x)\bigr)=-\cos(x).
\frac{d^4}{dx^4}\sin(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=\sin(x).
Explanação: use a regra básica de derivação de funções trigonométricas: a derivada de \sin é \cos e a derivada de \cos é -\sin. Aqui já vemos que após quatro derivadas volta-se a \sin(x): há um ciclo de período 4.

Passo 3

Interpretação do padrão em termos de deslocamento de fase. Observe a identidade trigonométrica (que pode ser verificada facilmente a partir das fórmulas de adição):
\cos(t)=\sin\!\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\quad\text{para todo }t.
Aplicando isso com t=x ou com t=x+\text{constante}, cada derivada “anda” a função \sin em fase por \tfrac{\pi}{2}. Por exemplo:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right).
E mais geralmente, se uma função tem a forma \sin\!\bigl(x+\alpha\bigr), sua derivada é
\frac{d}{dx}\sin\!\bigl(x+\alpha\bigr)=\cos\!\bigl(x+\alpha\bigr)=\sin\!\left(x+\alpha+\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Prova por indução de que a k-ésima derivada é \sin\!\bigl(x+k\frac{\pi}{2}\bigr).
Base ( k=0): é trivial que
\frac{d^{0}\sin(x)}{dx^0}=\sin(x)=\sin\!\left(x+0\cdot\frac{\pi}{2}\right).
Passo indutivo: suponha que a afirmação valha para um inteiro k\ge0, i.e.,
\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).
Então a derivada de ordem k+1 é
\frac{d^{k+1}\sin(x)}{dx^{k+1}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}\right) = \frac{d}{dx}\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).
Pelo resultado do passo anterior,
\frac{d}{dx}\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+(k+1)\frac{\pi}{2}\right).
Isso completa a etapa indutiva. Assim, por indução matemática, para todo inteiro não-negativo k vale
\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Agora transformamos a forma \sin\!\bigl(x+k\frac{\pi}{2}\bigr) em uma expressão explícita dependendo da paridade de k. Escrevemos k como 2m (par) ou 2m+1 (ímpar), com m inteiro.
Caso k=2m (par). Então
\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+2m\cdot\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+m\pi\right).
Usando a identidade \sin(t+m\pi)=(-1)^m\sin(t) (porque cada adição de \pi inverte o sinal da seno), temos
\sin\!\left(x+m\pi\right)=(-1)^m\sin(x).
Como m=\dfrac{k}{2}, isso dá
\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^{\frac{k}{2}}\sin(x)\quad\text{quando \(k\) é par.}é
Caso k=2m+1 (ímpar). Então
\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+(2m+1)\frac{\pi}{2}\right) = \sin\!\left(x+m\pi+\frac{\pi}{2}\right).
Usando \sin(t+\frac{\pi}{2})=\cos(t) e \sin(t+m\pi)=(-1)^m\sin(t) (ou combinando os dois),
\sin\!\left(x+m\pi+\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^m\sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^m\cos(x).
Como m=\dfrac{k-1}{2}, obtemos
\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^{\frac{k-1}{2}}\cos(x)\quad\text{quando \(k\) é ímpar.}éí

Passo 6

Resumo e dica prática para a prova: combinando os passos anteriores,
\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right)= \begin{cases} (-1)^{\frac{k}{2}}\sin(x), & \text{se \(k\) é par},\\[6pt] (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cos(x), & \text{se \(k\) é ímpar}. \end{cases}ééí
No exame, em vez de calcular muitas derivadas, basta reduzir k módulo 4:
  • k\equiv0\pmod{4}\Rightarrow retorna \sin(x).
  • k\equiv1\pmod{4}\Rightarrow retorna \cos(x).
  • k\equiv2\pmod{4}\Rightarrow retorna -\sin(x).
  • k\equiv3\pmod{4}\Rightarrow retorna -\cos(x).]

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (só para checar que tudo faz sentido):
\frac{d^{5}\sin(x)}{dx^5}=\sin\!\left(x+5\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x),
\frac{d^{6}\sin(x)}{dx^6}=\sin\!\left(x+6\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(x+3\pi\right)=-\sin(x).
Isto bate com a regra de reduzir k módulo 4.

Resposta

\frac{d^{k}\sin(x)}{dx^k}=\sin\!\left(x+k\frac{\pi}{2}\right)=\begin{cases} (-1)^{\frac{k}{2}}\sin(x),\\[6pt] (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cos(x) \end{cases}]

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