Derive a fórmula abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que se derive (i.e., prove) a fórmula para a derivada de ordem
e a forma equivalente por paridade
é par},\[6pt] (-1)^{\frac{k-1}{2}}\cos(x), & se
é ímpar. \end{cases}]
Informações relevantes fornecidas: a função cuja derivada repetida se quer estudar é
; o índice da derivada é um inteiro não-negativo
. A tarefa é demonstrar as duas expressões acima e justificar cada passo de forma clara.]
Passo 2
Vamos calcular explicitly as primeiras derivadas de
para ver o padrão (cada igualdade está isolada em display para ficar claro):
Explanação: use a regra básica de derivação de funções trigonométricas: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Aqui já vemos que após quatro derivadas volta-se a
: há um ciclo de período 4.
Passo 3
Interpretação do padrão em termos de deslocamento de fase. Observe a identidade trigonométrica (que pode ser verificada facilmente a partir das fórmulas de adição):
Aplicando isso com
ou com
, cada derivada “anda” a função
em fase por
. Por exemplo:
E mais geralmente, se uma função tem a forma
, sua derivada é
Passo 4
Prova por indução de que a
-ésima derivada é
.
Base (
): é trivial que
Passo indutivo: suponha que a afirmação valha para um inteiro
, i.e.,
Então a derivada de ordem
é
Pelo resultado do passo anterior,
Isso completa a etapa indutiva. Assim, por indução matemática, para todo inteiro não-negativo
vale
Passo 5
Agora transformamos a forma
em uma expressão explícita dependendo da paridade de
. Escrevemos
como
(par) ou
(ímpar), com
inteiro.
Caso
(par). Então
Usando a identidade
(porque cada adição de
inverte o sinal da seno), temos
Como
, isso dá
Caso
(ímpar). Então
Usando
e
(ou combinando os dois),
Como
, obtemos
Passo 6
Resumo e dica prática para a prova: combinando os passos anteriores,
No exame, em vez de calcular muitas derivadas, basta reduzir
módulo
:
-
retorna . -
retorna . -
retorna . -
retorna .]
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (só para checar que tudo faz sentido):
Isto bate com a regra de reduzir
módulo
.