[3] - Prove a Propriedade Arquimediana dos números reais.

Passo 1

O enunciado pede: provar a Propriedade Arquimediana dos números reais. Vou explicitar claramente o que isso significa e o que posso usar.
  • O que é pedido: demonstrar que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x>0, existe um natural n\in\mathbb{N} tal que n x > y.
  • Informações relevantes disponíveis (hipóteses que posso usar): a construção dos números reais possui a propriedade de completude (propriedade do supremo, isto é, todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de \mathbb{R} tem um supremo). Também conheço noções básicas sobre os naturais \mathbb{N} e álgebra elementar.

Passo 2

Vou relembrar e explicar alguns conceitos que usarei na prova (tudo bem detalhado).
  • Definição: um número M é uma cota superior de um conjunto A\subset\mathbb{R} se, para todo a\in A, vale a\le M.
  • Definição: o supremo de A, escrito \sup A, é a menor das cotas superiores de A. Isso significa duas coisas:
    1. \sup A é uma cota superior de A (ou seja, a\le\sup A para todo a\in A);
    2. se M é qualquer outra cota superior de A, então \sup A \le M.
  • Propriedade de completude (que usarei): todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de \mathbb{R} tem supremo. Vou usar também uma consequência direta da definição de supremo: se s=\sup A e \varepsilon>0, então existe a\in A tal que s-\varepsilon < a\le s. Essa consequência é essencial e segue da propriedade de que s-\varepsilon não pode ser uma cota superior quando \varepsilon>0.
Também explico o método que vou usar: prova por contradição. Na prova por contradição, assume-se a negação do que se quer provar e mostra-se que dessa hipótese falsa segue uma contradição com algo já sabido; daí a hipótese negada é falsa e a afirmação original é verdadeira.

Passo 3

Começo a prova por contradição.
Suponha, para fins de contradição, que existam x,y\in\mathbb{R} com x>0 tais que
\text{para todo }n\in\mathbb{N}\text{ vale }n x \le y.
Essa é a negação da Propriedade Arquimediana (se não existe n com n x>y, então todos os n satisfazem n x\le y).

Passo 4

A partir dessa hipótese, defino o conjunto
S=\{n x:\; n\in\mathbb{N}\}.
Vou verificar duas coisas: S é não vazio e S é limitado superiormente.
  • S é não vazio porque 1\in\mathbb{N} e, portanto, 1\cdot x = x\in S.
  • Pela hipótese assumida, para todo n\in\mathbb{N} vale n x \le y. Logo y é uma cota superior de S. Assim S é limitado superiormente.
Pelo que expliquei no Passo 2 (completude dos reais), um conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo. Assim existe
s=\sup S\in\mathbb{R}.

Passo 5

Uso a propriedade do supremo que mencionei: como x>0, posso tomar \varepsilon = x >0. Pela definição de supremo, existe um elemento de S que fica dentro de \varepsilon de s à esquerda, isto é, existe m\in\mathbb{N} tal que
s - x < m x \le s.
Essa desigualdade vem do fato: se não existisse tal m, então s-x seria uma cota superior de S menor que s, contradizendo que s é o menor limitante superior.

Passo 6

Agora uso a desigualdade do passo anterior para chegar à contradição. Considere o elemento (m+1)x\in S. Calcula-se:
(m+1)x = m x + x > (s - x) + x = s.
Portanto (m+1)x > s. Mas isso contradiz a definição de s como uma cota superior de S, já que todos os elementos de S deveriam ser \le s. Assim obtivemos uma contradição com a hipótese de que para todo n\in\mathbb{N} vale n x \le y (porque dali veio a existência de s e a desigualdade que contradiz a cotação superior).

Passo 7

Da contradição do Passo 6 concluímos que a suposição inicial era falsa. Portanto a afirmação original é verdadeira: para quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x>0 existe n\in\mathbb{N} tal que n x > y. Isso prova a Propriedade Arquimediana.

Passo 8

Vou dar algumas consequências e uma explicação prática, para ajudar a entender e lembrar:
  • Caso especial (N é ilimitado): tomando x=1 e qualquer y\in\mathbb{R}, a propriedade dá existência de n\in\mathbb{N} com n>y. Isso mostra que \mathbb{N} não é limitada superiormente em \mathbb{R}.
  • Outra forma equivalente (recíproca pequena): para cada \varepsilon>0 existe n\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{n}<\varepsilon. Prova rápida: aplique a propriedade com x=\varepsilon e y=1; obtém-se n\varepsilon>1, ou seja \dfrac{1}{n}<\varepsilon.
  • Exemplo concretinho para fixar a ideia: se x=0{,}1 e y=5, a propriedade garante que existe n tal que 0{,}1 n >5. Aqui n=51 funciona porque 0{,}1\cdot 51 = 5{,}1>5.
Força nos estudos — essa propriedade é bem útil e aparece em muitos argumentos em análise e em provas sobre densidade dos racionais etc.

Resposta

Para quaisquer x,y\in\mathbb{R} com x>0 existe n\in\mathbb{N} tal que n x > y.

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