[3] - Prove a Propriedade Arquimediana dos números reais.
Passo 1
O enunciado pede: provar a Propriedade Arquimediana dos números reais. Vou explicitar claramente o que isso significa e o que posso usar.
- O que é pedido: demonstrar que, para quaisquer
com , existe um natural tal que . - Informações relevantes disponíveis (hipóteses que posso usar): a construção dos números reais possui a propriedade de completude (propriedade do supremo, isto é, todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de
tem um supremo). Também conheço noções básicas sobre os naturais e álgebra elementar.
Passo 2
Vou relembrar e explicar alguns conceitos que usarei na prova (tudo bem detalhado).
- Definição: um número
é uma cota superior de um conjunto se, para todo , vale . - Definição: o supremo de
, escrito , é a menor das cotas superiores de . Isso significa duas coisas: -
é uma cota superior de (ou seja, para todo ); - se
é qualquer outra cota superior de , então .
-
- Propriedade de completude (que usarei): todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de
tem supremo. Vou usar também uma consequência direta da definição de supremo: se e , então existe tal que . Essa consequência é essencial e segue da propriedade de que não pode ser uma cota superior quando .
Também explico o método que vou usar: prova por contradição. Na prova por contradição, assume-se a negação do que se quer provar e mostra-se que dessa hipótese falsa segue uma contradição com algo já sabido; daí a hipótese negada é falsa e a afirmação original é verdadeira.
Passo 3
Começo a prova por contradição.
Suponha, para fins de contradição, que existam
com
tais que
Essa é a negação da Propriedade Arquimediana (se não existe
com
, então todos os
satisfazem
).
Passo 4
A partir dessa hipótese, defino o conjunto
Vou verificar duas coisas:
é não vazio e
é limitado superiormente.
-
é não vazio porque e, portanto, . - Pela hipótese assumida, para todo
vale . Logo é uma cota superior de . Assim é limitado superiormente.
Pelo que expliquei no Passo 2 (completude dos reais), um conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo. Assim existe
Passo 5
Uso a propriedade do supremo que mencionei: como
, posso tomar
. Pela definição de supremo, existe um elemento de
que fica dentro de
de
à esquerda, isto é, existe
tal que
Essa desigualdade vem do fato: se não existisse tal
, então
seria uma cota superior de
menor que
, contradizendo que
é o menor limitante superior.
Passo 6
Agora uso a desigualdade do passo anterior para chegar à contradição. Considere o elemento
. Calcula-se:
Portanto
. Mas isso contradiz a definição de
como uma cota superior de
, já que todos os elementos de
deveriam ser
. Assim obtivemos uma contradição com a hipótese de que para todo
vale
(porque dali veio a existência de
e a desigualdade que contradiz a cotação superior).
Passo 7
Da contradição do Passo 6 concluímos que a suposição inicial era falsa. Portanto a afirmação original é verdadeira: para quaisquer
com
existe
tal que
. Isso prova a Propriedade Arquimediana.
Passo 8
Vou dar algumas consequências e uma explicação prática, para ajudar a entender e lembrar:
- Caso especial (N é ilimitado): tomando
e qualquer , a propriedade dá existência de com . Isso mostra que não é limitada superiormente em . - Outra forma equivalente (recíproca pequena): para cada
existe tal que . Prova rápida: aplique a propriedade com e ; obtém-se , ou seja . - Exemplo concretinho para fixar a ideia: se
e , a propriedade garante que existe tal que . Aqui funciona porque .
Força nos estudos — essa propriedade é bem útil e aparece em muitos argumentos em análise e em provas sobre densidade dos racionais etc.
Resposta
Para quaisquer
com
existe
tal que
.