[2.5 pt ] Um arame tem o formato de um semicírculo
, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta
.
Passo 1
O enunciado dá um arame no formato de semicírculo
e diz que a densidade linear em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto à reta
. O que se pede é o centro de massa desse arame (isto é, as coordenadas
e
do centro de massa). Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que foi dado e o que precisamos achar.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas gerais para centro de massa de um arame (fio fino) com densidade linear
variável. Seja
a massa total do arame, então:
As coordenadas do centro de massa são
onde
é o elemento de comprimento ao longo da curva
. Vou explicar cada símbolo:
-
é a densidade linear no ponto (massa por unidade de comprimento) — aqui depende da posição. -
é um pequeno comprimento ao longo do semicírculo. -
são as coordenadas do ponto sobre o arame.
Essas fórmulas são a definição de momento (numerador) dividido pela massa (denominador).
Passo 3
Antes de integrar, usamos simetria para simplificar: o semicírculo é simétrico em relação ao eixo
(linha
), e a densidade depende somente de
(já que a distância à reta
depende só de
). Portanto os momentos em
à esquerda e à direita se cancelam e
Só precisamos então calcular
.
Passo 4
Parametrizamos o semicírculo com o parâmetro angular
. Uma parametrização conveniente é
Explico por que: para um círculo de raio
centrado na origem, essa parametrização descreve a circunferência; variando
de
a
percorremos a parte superior (semicírculo). O elemento de comprimento
é dado por
Calculando as derivadas:
e
. Assim
Portanto
. Isso é útil porque simplifica integrais para integrais em
.
Passo 5
A densidade é proporcional à distância ao segmento de reta
. Para um ponto
com
a distância é
. Então podemos escrever
onde
é uma constante de proporcionalidade. Não precisamos conhecer
explicitamente porque ele vai se cancelar entre numerador e denominador ao calcular
. Em termos de
:
Passo 6
Calculamos a massa total
. Substituindo
e
na definição,
Colocando fatores constantes fora da integral:
Agora calculamos a integral em
. Temos
Portanto
Substituindo:
Passo 7
Agora o momento vertical (numerador para
):
Colocando constantes:
Expandimos a integral:
Já sabemos
. Para
usamos a identidade trigonométrica
Então
Calculamos:
Logo
Substituindo na expansão:
Portanto o momento é
Passo 8
Agora calculamos
como razão entre o momento e a massa:
Cancelamos
e
:
Podemos checar rapidamente o sinal e a ordem de grandeza: como
e
,
é uma fração positiva menor que
. Numericamente
, o que faz sentido: o centro de massa fica abaixo do centro geométrico
porque a densidade é maior perto da base (
pequeno).
Passo 9
Concluímos: o centro de massa do arame tem coordenadas