[2.5 pt ] Um arame tem o formato de um semicírculo x^{2}+y^{2}=a^{2}, y \geqslant 0, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y=a.

Passo 1

O enunciado dá um arame no formato de semicírculo \,x^{2}+y^{2}=a^{2},\; y\geqslant 0\, e diz que a densidade linear em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto à reta \,y=a\,. O que se pede é o centro de massa desse arame (isto é, as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do centro de massa). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Curva: } x^{2}+y^{2}=a^{2},\quad y\ge 0.
\text{Densidade linear: } \lambda \propto \text{distância ao eixo } y=a.â
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que foi dado e o que precisamos achar.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas gerais para centro de massa de um arame (fio fino) com densidade linear \lambda variável. Seja M a massa total do arame, então:
M=\int_{\mathcal{C}}\lambda\,ds.
As coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac{1}{M}\int_{\mathcal{C}} x\,\lambda\,ds, \qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\int_{\mathcal{C}} y\,\lambda\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva \mathcal{C}. Vou explicar cada símbolo:
  • \lambda é a densidade linear no ponto (massa por unidade de comprimento) — aqui depende da posição.
  • ds é um pequeno comprimento ao longo do semicírculo.
  • x,y são as coordenadas do ponto sobre o arame.
Essas fórmulas são a definição de momento (numerador) dividido pela massa (denominador).

Passo 3

Antes de integrar, usamos simetria para simplificar: o semicírculo é simétrico em relação ao eixo y (linha x=0), e a densidade depende somente de y (já que a distância à reta y=a depende só de y). Portanto os momentos em x à esquerda e à direita se cancelam e
\bar{x}=0.
Só precisamos então calcular \bar{y}.

Passo 4

Parametrizamos o semicírculo com o parâmetro angular \theta. Uma parametrização conveniente é
x(\theta)=a\cos\theta,\qquad y(\theta)=a\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi.
Explico por que: para um círculo de raio a centrado na origem, essa parametrização descreve a circunferência; variando \theta de 0 a \pi percorremos a parte superior (semicírculo). O elemento de comprimento ds é dado por
ds=\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{d\theta}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{d\theta}\bigr)^{2}}\,d\theta.
Calculando as derivadas: \tfrac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta e \tfrac{dy}{d\theta}=a\cos\theta. Assim
ds=\sqrt{a^{2}\sin^{2}\theta+a^{2}\cos^{2}\theta}\,d\theta=\sqrt{a^{2}}\,d\theta=a\,d\theta.
Portanto ds=a\,d\theta. Isso é útil porque simplifica integrais para integrais em \theta.

Passo 5

A densidade é proporcional à distância ao segmento de reta y=a. Para um ponto (x,y) com y\le a a distância é a-y. Então podemos escrever
\lambda(x,y)=k\,(a-y),
onde k>0 é uma constante de proporcionalidade. Não precisamos conhecer k explicitamente porque ele vai se cancelar entre numerador e denominador ao calcular \bar{y}. Em termos de \theta:
y(\theta)=a\sin\theta\quad\Rightarrow\quad \lambda(\theta)=k\bigl(a-a\sin\theta\bigr)=ka(1-\sin\theta).

Passo 6

Calculamos a massa total M. Substituindo \lambda(\theta) e ds=a\,d\theta na definição,
M=\int_{\mathcal{C}}\lambda\,ds=\int_{0}^{\pi} \bigl[ka(1-\sin\theta)\bigr]\cdot a\,d\theta.
Colocando fatores constantes fora da integral:
M=ka^{2}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\sin\theta\bigr)\,d\theta.
Agora calculamos a integral em \theta. Temos
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi}= -\cos\pi -\bigl(-\cos 0\bigr)= -(-1)-(-1)=2.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\sin\theta\bigr)\,d\theta=\pi-2.
Substituindo:
M=ka^{2}(\pi-2).

Passo 7

Agora o momento vertical (numerador para \bar{y}):
\int_{\mathcal{C}} y\,\lambda\,ds=\int_{0}^{\pi} \bigl[a\sin\theta\bigr]\cdot \bigl[ka(1-\sin\theta)\bigr]\cdot a\,d\theta.
Colocando constantes:
\int_{\mathcal{C}} y\,\lambda\,ds = k a^{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,(1-\sin\theta)\,d\theta.
Expandimos a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,(1-\sin\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta - \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Já sabemos \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2. Para \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr).
Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr)\,d\theta =\tfrac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{\pi}1\,d\theta - \int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta\Bigr].
Calculamos:
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta=\bigl[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\bigr]_{0}^{\pi}=0.
Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\pi=\frac{\pi}{2}.
Substituindo na expansão:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,(1-\sin\theta)\,d\theta = 2 - \frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}.
Portanto o momento é
\int_{\mathcal{C}} y\,\lambda\,ds = k a^{3}\cdot\frac{4-\pi}{2}.

Passo 8

Agora calculamos \bar{y} como razão entre o momento e a massa:
\bar{y}=\frac{1}{M}\int_{\mathcal{C}} y\,\lambda\,ds = \frac{k a^{3}\cdot\dfrac{4-\pi}{2}}{k a^{2}(\pi-2)}.
Cancelamos k e a^{2}:
\bar{y}=a\cdot\frac{4-\pi}{2(\pi-2)}.
Podemos checar rapidamente o sinal e a ordem de grandeza: como 4-\pi>0 e \pi-2>0, \bar{y} é uma fração positiva menor que a. Numericamente \bar{y}\approx 0{,}376\,a, o que faz sentido: o centro de massa fica abaixo do centro geométrico y\!=\!2a/\pi\approx0{,}637a porque a densidade é maior perto da base ( y pequeno).

Passo 9

Concluímos: o centro de massa do arame tem coordenadas
\bigl(\bar{x},\bar{y}\bigr)=\Bigl(0,\;a\cdot\frac{4-\pi}{2(\pi-2)}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(0,\;a\cdot\frac{4-\pi}{2(\pi-2)}\bigr)

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