Encontre o vetor velocidade e a equação x y da reta tangente a x=e^{t}, y=e^{-t} \mathrm{em} t=0. Qual é a equação x y da curva?

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica definida por x=e^{t} e y=e^{-t} e pede duas coisas:
  1. O vetor velocidade (ou vetor tangente) da curva no instante t=0.
  2. A equação em x,y da reta tangente à curva em t=0 (ou seja, a equação da reta no plano xy que toca a curva naquele ponto).
    Além disso, pede também a equação em x,y da própria curva (ou seja, eliminar o parâmetro t e obter uma relação entre x e y).
Informações dadas:
  • x(t)=e^{t}.
  • y(t)=e^{-t}.
  • Ponto de interesse: t=0.

Passo 2

O que é o vetor velocidade?
Para uma curva no plano dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t), o vetor posição é \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)). O vetor velocidade (ou tangente) é a derivada desse vetor em relação a t:
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right).
Significado prático: \mathbf{r}'(t) aponta na direção da tangente à curva no ponto correspondente a t, e seus componentes são as derivadas das coordenadas.
Regras de derivação que usaremos:
  • A derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}.
  • A derivada de e^{-t} em relação a t é -e^{-t} (pela regra da cadeia: derivada do expoente -t é -1).

Passo 3

Calcular as derivadas das coordenadas:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.
Logo o vetor velocidade geral é
\mathbf{r}'(t)=\left(e^{t},-e^{-t}\right).

Passo 4

Avaliar o vetor velocidade em t=0. Primeiro obtenho o ponto da curva em t=0:
x(0)=e^{0}=1,\qquad y(0)=e^{0}=1,
portanto o ponto é (1,1). Agora avalio \mathbf{r}'(t) em t=0:
\mathbf{r}'(0)=\left(e^{0},-e^{0}\right)=(1,-1).
Interpretação: no ponto (1,1) a direção tangente tem vetor diretor (1,-1), ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular (inclinação) -1.

Passo 5

Como escrever a equação da reta tangente em x,y?
Duas formas comuns:
  • Forma paramétrica da reta: usando um parâmetro, por exemplo s,
(x,y)=(1,1)+s(1,-1),
o que dá
x=1+s,\qquad y=1-s.
  • Para a forma explícita y=f(x): elimino s. Da primeira equação s=x-1. Substituo em y:
y=1-(x-1)=2-x.
Portanto a equação da reta tangente em termos de x e y é
y=-x+2.
Verificação rápida: no ponto x=1 temos y=1, e a inclinação é -1, consistente com \mathbf{r}'(0).

Passo 6

Achar a equação da curva na forma F(x,y)=0 (eliminar o parâmetro). Multiplico x por y:
x\,y = e^{t}\cdot e^{-t}=e^{t-t}=e^{0}=1.
Logo a relação entre x e y é simplesmente
x\,y=1.
Observações didáticas: essa é a equação da hipérbole equilátera no primeiro e terceiro quadrantes, mas aqui como x=e^{t}>0 e y=e^{-t}>0 para todo t, os pontos da parametrização estão todos no ramo positivo da hipérbole xy=1.

Passo 7

Recapitulando de forma prática para a prova:
  • Derive cada coordenada em relação a t para obter o vetor velocidade.
  • Avalie em t=0 para obter o vetor diretor da tangente.
  • Use o ponto (x(0),y(0)) e o vetor diretor para escrever a reta em forma paramétrica ou explícita.
  • Para eliminar o parâmetro, combine as expressões x(t) e y(t) de forma simples (aqui multiplicando) para obter a relação entre x e y.

Resposta

\mathbf{r}'(0)=(1,-1)
Equação da reta tangente: y=-x+2
Equação da curva: x\,y=1

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