Encontre o vetor velocidade e a equação
da reta tangente a
. Qual é a equação
da curva?
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica definida por
e
e pede duas coisas:
- O vetor velocidade (ou vetor tangente) da curva no instante
. - A equação em
da reta tangente à curva em (ou seja, a equação da reta no plano que toca a curva naquele ponto).
Além disso, pede também a equação emda própria curva (ou seja, eliminar o parâmetro e obter uma relação entre e ).
Informações dadas:
-
. -
. - Ponto de interesse:
.
Passo 2
O que é o vetor velocidade?
Para uma curva no plano dada por coordenadas paramétricas e
, o vetor posição é
. O vetor velocidade (ou tangente) é a derivada desse vetor em relação a
:
Para uma curva no plano dada por coordenadas paramétricas
Significado prático:
aponta na direção da tangente à curva no ponto correspondente a
, e seus componentes são as derivadas das coordenadas.
Regras de derivação que usaremos:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pela regra da cadeia: derivada do expoente é ).
Passo 3
Calcular as derivadas das coordenadas:
Logo o vetor velocidade geral é
Passo 4
Avaliar o vetor velocidade em
. Primeiro obtenho o ponto da curva em
:
portanto o ponto é
. Agora avalio
em
:
Interpretação: no ponto
a direção tangente tem vetor diretor
, ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular (inclinação)
.
Passo 5
Como escrever a equação da reta tangente em
?
Duas formas comuns:
Duas formas comuns:
- Forma paramétrica da reta: usando um parâmetro, por exemplo
,
o que dá
- Para a forma explícita
: elimino . Da primeira equação . Substituo em :
Portanto a equação da reta tangente em termos de
e
é
Verificação rápida: no ponto
temos
, e a inclinação é
, consistente com
.
Passo 6
Achar a equação da curva na forma
(eliminar o parâmetro). Multiplico
por
:
Logo a relação entre
e
é simplesmente
Observações didáticas: essa é a equação da hipérbole equilátera no primeiro e terceiro quadrantes, mas aqui como
e
para todo
, os pontos da parametrização estão todos no ramo positivo da hipérbole
.
Passo 7
Recapitulando de forma prática para a prova:
- Derive cada coordenada em relação a
para obter o vetor velocidade. - Avalie em
para obter o vetor diretor da tangente. - Use o ponto
e o vetor diretor para escrever a reta em forma paramétrica ou explícita. - Para eliminar o parâmetro, combine as expressões
e de forma simples (aqui multiplicando) para obter a relação entre e .
Resposta
Equação da reta tangente:
Equação da curva: