(2, 0 pontos) Determine, se possível, a inversa da função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+4 & \text { se } x<0 \\\ e^{x}+3 & \text { se } x \geq 0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x+4 & \text{se } x<0,\\[4pt] e^{x}+3 & \text{se } x\ge 0. \end{cases}
O que o problema pede: determinar, se possível, a inversa de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida para todos os x\in\mathbb{R} (tem as duas peças x<0 e x\ge0).
  • A primeira peça é a função afim x+4 restrita a x<0.
  • A segunda peça é e^{x}+3 restrita a x\ge0.
  • Não há outras condições fornecidas (por exemplo, codomínio explícito), então entendemos que a função é dada como mapeamento de \mathbb{R} em seus valores naturais.]

Passo 2

O que significa “determinar a inversa, se possível”? Vou explicar devagar e com carinho.
Definição prática: uma função f tem inversa (denotada f^{-1}) quando existe uma função que “desfaz” f: isto é, para todo y no conjunto de valores de f existe um único x tal que f(x)=y, e então f^{-1}(y)=x. Em termos mais técnicos, precisamos que f seja bijetora (injetora e sobrejetora) entre domínio e imagem. Na prática para funções reais normalmente verificamos:
  1. Injetividade: f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2 (ou equivalentemente f é estritamente monotônica).
  2. Determinar explicitamente a expressão inversa resolvendo y=f(x) para x em cada ramo, atentando às restrições de domínio de cada solução.
No que vem a seguir eu vou:
  • achar a imagem (conjunto de valores) de cada ramo,
  • verificar injetividade,
  • resolver y=f(x) para obter f^{-1} ramo a ramo,
  • checar consistência das condições (por exemplo, domínio da função logaritmo).

Passo 3

Determinar a imagem (conjunto de valores) de cada ramo — isso é importante porque o inverso será definido exatamente sobre essa imagem.
Ramo 1: x+4 para x<0.
Se x\in(-\infty,0) então x+4\in(-\infty,4). Logo a imagem do primeiro ramo é
\text{Im}_1 = (-\infty,4).
Ramo 2: e^{x}+3 para x\ge0.
Sabemos que e^{x} para x\ge0 toma valores em [1,\infty). Então e^{x}+3 toma valores em [1+3,\infty)=[4,\infty). Logo a imagem do segundo ramo é
\text{Im}_2 = [4,\infty).
Juntando as duas imagens obtemos a imagem total de f:
\text{Im}(f)=(-\infty,4)\cup[4,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.
Portanto f é sobrejetora em \mathbb{R} (ou seja, atinge todos os reais).

Passo 4

Verificar injetividade (únicidade do x para cada valor y). Vou mostrar que f é estritamente crescente em toda a reta, o que garante injetividade.
  • Na parte x<0: f(x)=x+4 é uma reta com coeficiente angular 1. Reta com coeficiente positivo é estritamente crescente; portanto na parte (-\infty,0) a função é estritamente crescente e não repete valores.
  • Na parte x\ge0: f(x)=e^{x}+3. A função exponencial e^{x} é estritamente crescente para todo x, logo e^{x}+3 também é estritamente crescente em [0,\infty). Portanto dentro desse ramo não há repetição de valores.
  • Verificação no ponto de junção x=0: calcule os limites/valores próximos a 0. Pela esquerda, quando x\to0^{-}, a primeira peça dá x+4\to 4. Pela direita e no ponto 0, a segunda peça dá e^{0}+3=1+3=4. Assim o único ponto que atinge o valor 4 é x=0 (a primeira peça só tende a 4 mas, como exige x<0, não atinge exatamente 4). Portanto não há dois x diferentes mapeando para o mesmo y.
Conclusão: f é estritamente crescente em cada ramo e as imagens dos ramos não se sobrepõem de forma a produzir colisão de valores: cada y tem exatamente um x preimagem. Logo f é injetora.
Como f é injetora e sua imagem é \mathbb{R}, ela é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R} e portanto possui inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Agora vou obter explicitamente f^{-1}. O procedimento padrão: escrevo y=f(x) e resolvo para x em função de y, tratando cada ramo separadamente e mantendo as condições que garantem consistência.
Ramo 1 (corresponde a valores y que vieram da primeira peça): sabemos da Passo 3 que esses y são y\in(-\infty,4). Para esses y a equação é
y = x+4 \quad\text{com } x<0.
Resolvo para x:
x = y-4.
A condição x<0 se traduz em y-4<0, isto é y<4, que é exatamente o intervalo considerado. Logo a inversa neste ramo é x=y-4. Traduzindo para notação padrão f^{-1} com variável de entrada t (ou com x se preferir), obtemos para os valores menores que 4:
f^{-1}(y)=y-4,\qquad y<4.
Ramo 2 (corresponde a valores y que vieram da segunda peça): sabemos que esses y estão em [4,\infty). A equação é
y = e^{x}+3 \quad\text{com } x\ge0.
Resolvo para x: subtraio 3 e aplico logaritmo natural:
y-3 = e^{x}\quad\Rightarrow\quad x=\ln(y-3).
A condição x\ge0 corresponde a \ln(y-3)\ge0, isto é y-3\ge1 ou y\ge4, que novamente é exatamente o intervalo considerado. Também devo checar domínio do logaritmo: precisamos de y-3>0; como y\ge4 temos y-3\ge1>0, tudo consistente. Portanto a inversa neste ramo é x=\ln(y-3), ou em notação de função inversa:
f^{-1}(y)=\ln(y-3),\qquad y\ge4.

Passo 6

Reescrevendo a resposta final na forma usual (substituindo a variável da inversa por x\)), a inversa é a função definida por partes \[f^{-1}(x)=\begin{cases} x-4 & \text{se } x<4,\\[4pt] \ln(x-3) & \text{se } x\ge4. \end{cases}
Pequena checagem rápida com valores de exemplo (ajuda a confiar no resultado):
  • Se x=-1\] então \(f(-1)=-1+4=3. Aplicando f^{-1} a 3 (que é <4) temos f^{-1}(3)=3-4=-1. OK.
  • Se x=1 então f(1)=e^{1}+3=e+3. Aplicando f^{-1} a e+3 (maior que 4) temos f^{-1}(e+3)=\ln(e+3-3)=\ln e=1. OK.]

Resposta

f^{-1}(x)=x-4 para x<4
f^{-1}(x)=\ln(x-3) para x\ge4

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