(2, 0 pontos) Determine, se possível, a inversa da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
O que o problema pede: determinar, se possível, a inversa de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está definida para todos os
(tem as duas peças e ). - A primeira peça é a função afim
restrita a . - A segunda peça é
restrita a . - Não há outras condições fornecidas (por exemplo, codomínio explícito), então entendemos que a função é dada como mapeamento de
em seus valores naturais.]
Passo 2
O que significa “determinar a inversa, se possível”? Vou explicar devagar e com carinho.
Definição prática: uma função tem inversa (denotada
) quando existe uma função que “desfaz”
: isto é, para todo
no conjunto de valores de
existe um único
tal que
, e então
. Em termos mais técnicos, precisamos que
seja bijetora (injetora e sobrejetora) entre domínio e imagem. Na prática para funções reais normalmente verificamos:
Definição prática: uma função
- Injetividade:
implica (ou equivalentemente é estritamente monotônica). - Determinar explicitamente a expressão inversa resolvendo
para em cada ramo, atentando às restrições de domínio de cada solução.
No que vem a seguir eu vou:
- achar a imagem (conjunto de valores) de cada ramo,
- verificar injetividade,
- resolver
para obter ramo a ramo, - checar consistência das condições (por exemplo, domínio da função logaritmo).
Passo 3
Determinar a imagem (conjunto de valores) de cada ramo — isso é importante porque o inverso será definido exatamente sobre essa imagem.
Ramo 1:
para
.
Se então
. Logo a imagem do primeiro ramo é
Se
Ramo 2:
para
.
Sabemos que para
toma valores em
. Então
toma valores em
. Logo a imagem do segundo ramo é
Sabemos que
Juntando as duas imagens obtemos a imagem total de
:
Portanto
é sobrejetora em
(ou seja, atinge todos os reais).
Passo 4
Verificar injetividade (únicidade do
para cada valor
). Vou mostrar que
é estritamente crescente em toda a reta, o que garante injetividade.
-
Na parte
: é uma reta com coeficiente angular . Reta com coeficiente positivo é estritamente crescente; portanto na parte a função é estritamente crescente e não repete valores. -
Na parte
: . A função exponencial é estritamente crescente para todo , logo também é estritamente crescente em . Portanto dentro desse ramo não há repetição de valores. -
Verificação no ponto de junção
: calcule os limites/valores próximos a . Pela esquerda, quando , a primeira peça dá . Pela direita e no ponto , a segunda peça dá . Assim o único ponto que atinge o valor é (a primeira peça só tende a mas, como exige , não atinge exatamente ). Portanto não há dois diferentes mapeando para o mesmo .
Conclusão:
é estritamente crescente em cada ramo e as imagens dos ramos não se sobrepõem de forma a produzir colisão de valores: cada
tem exatamente um
preimagem. Logo
é injetora.
Como
é injetora e sua imagem é
, ela é bijetora
e portanto possui inversa definida em todo
.
Passo 5
Agora vou obter explicitamente
. O procedimento padrão: escrevo
e resolvo para
em função de
, tratando cada ramo separadamente e mantendo as condições que garantem consistência.
Ramo 1 (corresponde a valores
que vieram da primeira peça): sabemos da Passo 3 que esses
são
. Para esses
a equação é
Resolvo para
:
A condição
se traduz em
, isto é
, que é exatamente o intervalo considerado. Logo a inversa neste ramo é
. Traduzindo para notação padrão
com variável de entrada
(ou com
se preferir), obtemos para os valores menores que
:
Ramo 2 (corresponde a valores
que vieram da segunda peça): sabemos que esses
estão em
. A equação é
Resolvo para
: subtraio
e aplico logaritmo natural:
A condição
corresponde a
, isto é
ou
, que novamente é exatamente o intervalo considerado. Também devo checar domínio do logaritmo: precisamos de
; como
temos
, tudo consistente. Portanto a inversa neste ramo é
, ou em notação de função inversa:
Passo 6
Reescrevendo a resposta final na forma usual (substituindo a variável da inversa por
Pequena checagem rápida com valores de exemplo (ajuda a confiar no resultado):
- Se
. Aplicando
a (que é ) temos . OK. - Se
então . Aplicando a (maior que ) temos . OK.]