[2,0 ptos] Em um circuito RL em série ligado a uma fonte de corrente contínua (DC), por que a corrente não sobe instantaneamente ao valor final logo após o fechamento da chave?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, em um circuito série R\!-\!L ligado a uma fonte de corrente contínua (DC), a corrente não salta instantaneamente para o valor final assim que a chave é fechada. Informações dadas/assumidas:
Há um indutor com indutância L.
Há um resistor com resistência R em série com o indutor.
O circuito é ligado a uma fonte DC (tensão constante \,V, ou equivalente que imponha uma condição permanente de corrente).
Condição inicial usual: antes de fechar a chave a corrente é i(0)=0 (ou algum valor conhecido).
O que se pede: explicar, de forma física e matemática, por que a corrente não atinge imediatamente o valor final logo após o fechamento da chave.
Passo 2
Princípio físico do indutor (a ideia central, mastigada). Um indutor resiste a variações de corrente porque uma corrente variável cria uma variação de fluxo magnético que, pela lei de Faraday-Lenz, gera uma força eletromotriz que tende a se opor à mudança. Em equações simples isso se escreve:
v_L = L\,\frac{di}{dt},
onde v_L é a tensão instantânea no indutor, L é a indutância (unidade: henry, H) e \dfrac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente. Esse sinal mostra que, para obrigar a corrente a mudar rapidamente (\dfrac{di}{dt} grande), é preciso aplicar uma grande tensão no indutor.
Passo 3
Escrevendo a equação de circuito (KVL) para a fonte de tensão \,V em série com R e L. Tomando polaridades consistentes:
V = v_R + v_L = R\,i(t) + L\,\frac{di}{dt}.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para i(t). Ela incorpora a oposição do indutor à variação de corrente via o termo L\,\dfrac{di}{dt}.
Passo 4
Solução matemática passo a passo (modo padrão, caso típico com i(0)=0).
Reescrever:
L\,\frac{di}{dt} + R\,i = V.
Dividindo por L:
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = \frac{V}{L}.
Esta é uma ODE linear com constante de tempo \tau definida por
\tau = \frac{L}{R}.
A solução com condição inicial i(0)=0 é a conhecida resposta de subida exponencial:
i(t) = \frac{V}{R}\!\left(1 - e^{-t/\tau}\right).
Verificações fáceis: i(0)=0 e \displaystyle \lim_{t\to\infty} i(t)=\dfrac{V}{R}, o valor final de regime permanente.
Passo 5
Interpretação da solução e ligação com a pergunta. A corrente cresce de forma exponencial com constante de tempo \tau=L/R. Isso significa que a variação não é instantânea: no instante t=0 a derivada inicial é
\left.\frac{di}{dt}\right|_{t=0} = \frac{V}{L},
que é finita para L e V finitos. Para obter uma mudança instantânea de i (por exemplo, saltar de 0 para \dfrac{V}{R} num instante), seria necessário um \dfrac{di}{dt} infinito naquele instante. Pela relação v_L = L\,\dfrac{di}{dt}, isso exigiria uma tensão v_L infinita aplicada ao indutor — coisa impossível com uma fonte física finita. Portanto a corrente não pode pular instantaneamente.
Passo 6
Intuição física e argumento de conservação de energia (para fixar a ideia). O indutor armazena energia magnética dada por
W = \tfrac{1}{2}L\,i^2.
Para levar a corrente de 0 a um valor finito em tempo zero seria preciso injetar instantaneamente uma quantidade finita de energia — isso exigiria potência infinita no instante, o que também é impossível. Analogia mecânica: o indutor comporta-se como massa (inércia) em sistemas mecânicos; assim como não dá pra mudar instantaneamente a velocidade de uma massa sem aplicar um impulso infinito, não se muda instantaneamente a corrente num indutor sem tensão infinita.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: suponha L=1\\ \text{H}, R=1\\ \Omega e V=10\\ \text{V}. Então \tau=L/R=1\\ \text{s} e
i(t)=10\left(1-e^{-t}\right)\\ \text{A}.
No instante t=0 tem-se i(0)=0. Em t=\tau=1\\ \text{s} já se alcança i(1)=10(1-e^{-1})\approx 6{,}32\\ \text{A}, ou seja, ainda não está no valor final 10\\ \text{A}. Isso mostra a subida gradual controlada por \tau.
Resposta
A corrente não sobe instantaneamente porque o indutor se opõe a variações bruscas de corrente: v_L=L\,\dfrac{di}{dt}. Uma mudança instantânea exigiria \dfrac{di}{dt}\to\infty e, portanto, uma tensão (e potência) infinita no indutor, o que não é fisicamente possível.