Considere dois skatistas, inicialmente em repouso. O primeiro tem massa m_{1}=1.0 \mathrm{~kg} e está na origem do eixo x. O segundo tem massa m_{2}=2.0 \mathrm{~kg} e encontra-se inicialmente na posição \vec{x}_{2}=(1.0 \mathrm{~m}) \hat{\imath}. O skatista 1 segura um capacete de massa m_{c}=0.50 \mathrm{~kg}. Em um certo momento, ele joga o capacete com uma velocidade \vec{v}_{c}=(+5.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, em relação ao chão, para o skatista 2 , que o segura. CALCULE:
  • A velocidade do skatista 1, \vec{v}_{1}, logo após jogar o capacete para o skatista 2
  • A velocidade do skatista 2, \vec{v}_{2}, logo após receber o capacete do skatista 1 .
  • A velocidade do centro de massa do sistema, \vec{v}_{C M}, logo após o skatista 2 receber o capacete
Escolha uma opção:
◯ a. \vec{v}_{1}=(+2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{2}=(0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{C M}=(-2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}
◯ b. \vec{v}_{1}=(-2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{2}=(+1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{C M}=0.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ c. Os skatistas não se movem, logo a posição do centro de massa não muda, e por isso a velocidade do centro de massa é nula.
◯ d. $\vec{v}{1}=(0.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}{2}=(+1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{C M}=(+2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}

Passo 1

O enunciado dá uma situação com dois skatistas e um capacete, inicialmente em repouso. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dados:
  • Massa do skatista 1: m_{1}=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do skatista 2: m_{2}=2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Posição inicial do skatista 1: origem (não usada para velocidades).
  • Posição inicial do skatista 2: \vec{x}_{2}=(1,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath} (a posição não é necessária para as velocidades, mas foi informada).
  • Massa do capacete: m_{c}=0,50\\ \mathrm{kg}.
  • O sistema todo (os dois skatistas + capacete) está inicialmente em repouso, portanto a velocidade inicial total é zero.
  • O capacete é lançado pelo skatista 1 com velocidade em relação ao chão \vec{v}_{c}=(+5,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}, e depois é apanhado pelo skatista 2.
O que se pede:
  1. A velocidade do skatista 1 logo após ele lançar o capacete, \vec{v}_{1}.
  2. A velocidade do skatista 2 logo após receber o capacete, \vec{v}_{2}.
  3. A velocidade do centro de massa do sistema logo após o skatista 2 receber o capacete, \vec{v}_{CM}.
Observação: o enunciado dá que todas as velocidades são ao longo do eixo x (direção \hat{\imath}), então trataremos tudo numa dimensão (sinal positivo para +x).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
  • Quando não há forças externas horizontais significativas (por exemplo, atrito horizontal desprezível), o impulso total entre corpos internos é conservado. Em palavras simples: a soma dos momentos lineares (momentum) das partes do sistema antes de uma interação interna é igual à soma depois da interação.
  • O momento linear (momentum) de um corpo é definido por \vec{p}=m\vec{v}, onde m é a massa e \vec{v} a velocidade. Em uma dimensão usamos o sinal para indicar direção.
  • Para um sistema isolado (ou quase isolado na direção considerada), vale:
\sum \vec{p}_{\text{inicial}}=\sum \vec{p}_{\text{final}}.
  • Aqui temos duas interações sequenciais: (i) o lançamento do capacete (entre skatista 1 e o capacete) e (ii) a captura do capacete pelo skatista 2 (impacto inelástico entre capacete e skatista 2). Em cada etapa podemos aplicar conservação do momentum adequado ao sub-sistema considerado enquanto as forças externas horizontais forem desprezíveis.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Encontrar \vec{v}_{1} logo após o lançamento do capacete.
Situação imediatamente depois do lançamento, antes de o capacete alcançar o skatista 2:
  • Skatista 1 tem velocidade \vec{v}_{1} (desconhecida).
  • Capacete tem velocidade \vec{v}_{c}=(+5,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}.
  • Skatista 2 ainda está em repouso nesse instante: \vec{v}_{2}=0.
Como inicialmente tudo estava em repouso, o momento total inicial era zero. Aplicando conservação do momentum para todo o sistema (sk1 + capacete + sk2) imediatamente antes e depois do lançamento — e lembrando que no instante logo após o lançamento v_2=0 — obtemos:
0 = m_{1}\,v_{1} + m_{c}\,v_{c} + m_{2}\,v_{2}.
Substituindo v_{2}=0:
0 = m_{1}\,v_{1} + m_{c}\,v_{c}.
Isolando v_{1}:
v_{1} = -\frac{m_{c}}{m_{1}}\,v_{c}.
Agora plugamos os números (atenção ao uso da vírgula decimal):
v_{1} = -\frac{0,50}{1,0}\times 5,0 = -0,50\times 5,0 = -2,5\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
\vec{v}_{1}=(-2,5\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}.
Interpretação física rápida (para fixar): ao lançar o capacete para a direita com velocidade +5,0\\ \mathrm{m/s}, o skatista 1 recebe um recuo para a esquerda, maior quanto maior for a massa do capacete relativa à sua própria massa. Aqui o recuo é -2,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Encontrar \vec{v}_{2} logo após o skatista 2 receber (segurar) o capacete.
Quando o capacete alcança o skatista 2 e é apanhado, isso é um choque inelástico (capacete e skatista 2 passam a mover-se juntos imediatamente após a captura, ou seja, ficam com a mesma velocidade). Para essa interação entre o capacete e o skatista 2 podemos aplicar conservação do momentum ao sub-sistema “capacete + skatista 2” durante o instante do choque, já que as forças externas horizontais são desprezíveis no curto intervalo do impacto.
Antes do choque:
  • Capacete: massa m_{c}=0,50\\ \mathrm{kg} com v_{c}=+5,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Skatista 2: massa m_{2}=2,0\\ \mathrm{kg} com v_{2,\text{antes}}=0.
Depois do choque (após pegar): capacete e skatista 2 movem-se juntos com velocidade que chamaremos v_{2,\text{depois}} (é a \vec{v}_{2} pedida).
Conservação do momentum do sub-sistema:
m_{c}\,v_{c} + m_{2}\cdot 0 = (m_{2}+m_{c})\,v_{2,\text{depois}}.
Isolando v_{2,\text{depois}}:
v_{2,\text{depois}} = \frac{m_{c}\,v_{c}}{m_{2}+m_{c}}.
Substituindo os valores:
v_{2,\text{depois}} = \frac{0,50\times 5,0}{2,0+0,50} = \frac{2,5}{2,5} = 1,0\\ \mathrm{m/s}.
Portanto,
\vec{v}_{2}=(+1,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}.
Comentário prático: a velocidade resultante de 1,0\\ \mathrm{m/s} é sensata porque a quantidade de movimento do capacete (2,5 kg·m/s) é distribuída entre os 2,5 kg do conjunto (skatista 2 + capacete), dando exatamente 1,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade do centro de massa do sistema \vec{v}_{CM} logo após o skatista 2 receber o capacete.
Definição e propriedade importante (didática):
  • A velocidade do centro de massa de um sistema é dada por
\vec{v}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{v}_i}{\sum m_i},
ou seja, a razão entre o momentum total do sistema e a massa total.
  • Se não há forças externas resultantes na direção considerada, o momentum total do sistema é conservado, então \vec{v}_{CM} é constante no tempo (não muda por causa de interações internas).
Vamos calcular o momentum total após a captura:
  • Skatista 1: m_{1}=1,0\\ \mathrm{kg} com v_{1}=-2,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Skatista 2 + capacete: massa m_{2}+m_{c}=2,0+0,50=2,50\\ \mathrm{kg} com v_{2}=+1,0\\ \mathrm{m/s}.
Momentum total:
P_{\text{total}} = m_{1}v_{1} + (m_{2}+m_{c})v_{2} = 1,0\times(-2,5) + 2,50\times 1,0.
Calculando:
P_{\text{total}} = -2,5 + 2,5 = 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Massa total:
M_{\text{total}} = m_{1}+m_{2}+m_{c} = 1,0+2,0+0,50 = 3,50\\ \mathrm{kg}.
Assim,
v_{CM} = \frac{P_{\text{total}}}{M_{\text{total}}} = \frac{0}{3,50} = 0,0\\ \mathrm{m/s}.
Logo,
\vec{v}_{CM} = (0,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}.
Interpretação curta e encorajadora: mesmo que cada skatista se mova (um para a esquerda, outro para a direita), a soma vetorial dos momenta ficou zero, então o centro de massa do sistema continua parado.

Resposta

\vec{v}_{1}=(-2,5\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}
\vec{v}_{2}=(+1,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}
\vec{v}_{CM}=(0,0\\ \mathrm{m/s})\hat{\imath}

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