Considere dois skatistas, inicialmente em repouso. O primeiro tem massa
e está na origem do eixo
. O segundo tem massa
e encontra-se inicialmente na posição
. O skatista 1 segura um capacete de massa
. Em um certo momento, ele joga o capacete com uma velocidade
, em relação ao chão, para o skatista 2 , que o segura. CALCULE:
- A velocidade do skatista
, logo após jogar o capacete para o skatista 2
- A velocidade do skatista
, logo após receber o capacete do skatista 1 .
- A velocidade do centro de massa do sistema,
, logo após o skatista 2 receber o capacete
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c. Os skatistas não se movem, logo a posição do centro de massa não muda, e por isso a velocidade do centro de massa é nula.
◯ d. $\vec{v}{1}=(0.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}{2}=(+1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{C M}=(+2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}
◯ a.
◯ b.
◯ c. Os skatistas não se movem, logo a posição do centro de massa não muda, e por isso a velocidade do centro de massa é nula.
◯ d. $\vec{v}{1}=(0.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}{2}=(+1.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}, \vec{v}_{C M}=(+2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}
Passo 1
O enunciado dá uma situação com dois skatistas e um capacete, inicialmente em repouso. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dados:
- Massa do skatista 1:
. - Massa do skatista 2:
. - Posição inicial do skatista 1: origem (não usada para velocidades).
- Posição inicial do skatista 2:
(a posição não é necessária para as velocidades, mas foi informada). - Massa do capacete:
. - O sistema todo (os dois skatistas + capacete) está inicialmente em repouso, portanto a velocidade inicial total é zero.
- O capacete é lançado pelo skatista 1 com velocidade em relação ao chão
, e depois é apanhado pelo skatista 2.
O que se pede:
- A velocidade do skatista 1 logo após ele lançar o capacete,
. - A velocidade do skatista 2 logo após receber o capacete,
. - A velocidade do centro de massa do sistema logo após o skatista 2 receber o capacete,
.
Observação: o enunciado dá que todas as velocidades são ao longo do eixo
(direção
), então trataremos tudo numa dimensão (sinal positivo para +x).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática e intuitiva):
- Quando não há forças externas horizontais significativas (por exemplo, atrito horizontal desprezível), o impulso total entre corpos internos é conservado. Em palavras simples: a soma dos momentos lineares (momentum) das partes do sistema antes de uma interação interna é igual à soma depois da interação.
- O momento linear (momentum) de um corpo é definido por
, onde é a massa e a velocidade. Em uma dimensão usamos o sinal para indicar direção. - Para um sistema isolado (ou quase isolado na direção considerada), vale:
- Aqui temos duas interações sequenciais: (i) o lançamento do capacete (entre skatista 1 e o capacete) e (ii) a captura do capacete pelo skatista 2 (impacto inelástico entre capacete e skatista 2). Em cada etapa podemos aplicar conservação do momentum adequado ao sub-sistema considerado enquanto as forças externas horizontais forem desprezíveis.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Encontrar
logo após o lançamento do capacete.
Situação imediatamente depois do lançamento, antes de o capacete alcançar o skatista 2:
- Skatista 1 tem velocidade
(desconhecida). - Capacete tem velocidade
. - Skatista 2 ainda está em repouso nesse instante:
.
Como inicialmente tudo estava em repouso, o momento total inicial era zero. Aplicando conservação do momentum para todo o sistema (sk1 + capacete + sk2) imediatamente antes e depois do lançamento — e lembrando que no instante logo após o lançamento
— obtemos:
Substituindo
:
Isolando
:
Agora plugamos os números (atenção ao uso da vírgula decimal):
Portanto,
Interpretação física rápida (para fixar): ao lançar o capacete para a direita com velocidade
, o skatista 1 recebe um recuo para a esquerda, maior quanto maior for a massa do capacete relativa à sua própria massa. Aqui o recuo é
.
Passo 4
Encontrar
logo após o skatista 2 receber (segurar) o capacete.
Quando o capacete alcança o skatista 2 e é apanhado, isso é um choque inelástico (capacete e skatista 2 passam a mover-se juntos imediatamente após a captura, ou seja, ficam com a mesma velocidade). Para essa interação entre o capacete e o skatista 2 podemos aplicar conservação do momentum ao sub-sistema “capacete + skatista 2” durante o instante do choque, já que as forças externas horizontais são desprezíveis no curto intervalo do impacto.
Antes do choque:
- Capacete: massa
com . - Skatista 2: massa
com .
Depois do choque (após pegar): capacete e skatista 2 movem-se juntos com velocidade que chamaremos
(é a
pedida).
Conservação do momentum do sub-sistema:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Portanto,
Comentário prático: a velocidade resultante de
é sensata porque a quantidade de movimento do capacete (2,5 kg·m/s) é distribuída entre os 2,5 kg do conjunto (skatista 2 + capacete), dando exatamente
.
Passo 5
Calcular a velocidade do centro de massa do sistema
logo após o skatista 2 receber o capacete.
Definição e propriedade importante (didática):
- A velocidade do centro de massa de um sistema é dada por
ou seja, a razão entre o momentum total do sistema e a massa total.
- Se não há forças externas resultantes na direção considerada, o momentum total do sistema é conservado, então
é constante no tempo (não muda por causa de interações internas).
Vamos calcular o momentum total após a captura:
- Skatista 1:
com . - Skatista 2 + capacete: massa
com .
Momentum total:
Calculando:
Massa total:
Assim,
Logo,
Interpretação curta e encorajadora: mesmo que cada skatista se mova (um para a esquerda, outro para a direita), a soma vetorial dos momenta ficou zero, então o centro de massa do sistema continua parado.