Calcule o campo elétrico na superficie de um cilindro sólido (com raio R) e comprimento
com carga Q distribuida sobre seu volume. Expresse sua resposta em função de Q. (2 pontos).
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Um cilindro sólido, de raio
e comprimento . - Uma carga total
distribuída sobre o volume do cilindro (assume‑se distribuição uniforme ao longo do volume). - Pergunta: calcular o campo elétrico na superfície lateral do cilindro, ou seja no raio
, e expressar a resposta em função de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A carga total é
. - O volume do cilindro é
. - A distribuição é volumétrica (uniforme), logo existe uma densidade volumétrica
constante tal que a carga total .
Passo 2
Definir a densidade volumétrica de carga e explicar o que ela representa.
Quando a carga está uniformemente espalhada pelo volume do cilindro, a densidade volumétrica de carga
é a carga por unidade de volume. Logo:
Aqui:
-
tem unidade de carga por volume (por exemplo, ), -
é o volume do cilindro.
Essa densidade vai servir para calcular a carga contida em qualquer sub‑volume coaxial do cilindro.
Passo 3
Apresentar a lei de Gauss e explicar como ela será usada.
A lei de Gauss, em forma integral, diz:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área vetorial da superfície fechada , -
é a carga total contida no volume limitado por , -
é a permissividade do vácuo.
Usamos a lei de Gauss porque o problema tem simetria cilíndrica: espera‑se que o campo elétrico, na região lateral e longe das extremidades, seja radial (apontando para fora ou para dentro) e dependa apenas da distância radial
ao eixo. Para aplicar a lei com segurança estamos assumindo simetria cilíndrica — isto corresponde a considerar pontos na superfície lateral longe das bordas (ou implicitamente o cilindro muito longo) para negligenciar efeitos de borda.
Passo 4
Escolher a superfície gaussiana e calcular o fluxo.
Escolha: superfície gaussiana é um cilindro coaxial de raio
e comprimento
(mesma posição axial do cilindro carregado). Pelo argumento de simetria:
-
tem direção radial e módulo que depende somente de . - Nas tampas do cilindro gaussiano (planos perpendiculares ao eixo) o vetor
é aproximadamente paralelo ao plano (ou muito pequeno) sob a suposição de comprimento grande, logo o fluxo através das tampas é desprezível; o fluxo importante é através da superfície lateral do cilindro gaussiano.
O fluxo pela superfície lateral vale:
Passo 5
Calcular a carga contida dentro da superfície gaussiana para
(pontos internos) e obter
interno.
A carga dentro do cilindro de raio
e comprimento
é:
Substituindo
de passo 2:
Aplicando a lei de Gauss:
Logo, para
:
Interpretação: dentro do cilindro o campo cresce linearmente com
.
Passo 6
Calcular
para
(fora do cilindro).
Para
a superfície gaussiana engloba toda a carga do cilindro, então
(toda a carga). Pela lei de Gauss:
Assim, para
:
Esse é o comportamento de um fio cilíndrico carregado:
decai como
fora do cilindro.
Passo 7
Avaliar o campo na superfície
e verificar continuidade.
Avaliar usando qualquer uma das expressões em
:
- Se usar a expressão interna com
:
- Se usar a expressão externa com
:
As duas coincidem, como deve acontecer para uma densidade volumétrica contínua (não há superfície carregada singular). A direção do campo é radial (para fora se
, para dentro se
).
Observação sobre hipóteses: a dedução assume simetria cilíndrica e homogeneidade ao longo do eixo, o que permite tomar a superfície gaussiana com comprimento
e desprezar fluxo pelas tampas. Em problemas reais com
pequeno comparado a
haveria correções por efeitos de borda; aqui presume‑se que queremos o resultado para a região lateral onde a simetria vale (ou que
é suficientemente grande).
Resposta
direção radial para fora se
(para dentro se
).