Calcule o campo elétrico na superficie de um cilindro sólido (com raio R) e comprimento L com carga Q distribuida sobre seu volume. Expresse sua resposta em função de Q. (2 pontos).

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Um cilindro sólido, de raio \!R\! e comprimento \!L\!.
  • Uma carga total \!Q\! distribuída sobre o volume do cilindro (assume‑se distribuição uniforme ao longo do volume).
  • Pergunta: calcular o campo elétrico na superfície lateral do cilindro, ou seja no raio \!r=R\!, e expressar a resposta em função de \!Q\!.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A carga total é \!Q\!.
  • O volume do cilindro é \!V=\pi R^{2}L\!.
  • A distribuição é volumétrica (uniforme), logo existe uma densidade volumétrica \!\rho\! constante tal que a carga total \!Q=\rho V.

Passo 2

Definir a densidade volumétrica de carga e explicar o que ela representa.
Quando a carga está uniformemente espalhada pelo volume do cilindro, a densidade volumétrica de carga \rho é a carga por unidade de volume. Logo:
\rho=\frac{Q}{\pi R^{2} L}.
Aqui:
  • \rho tem unidade de carga por volume (por exemplo, \text{C}/\text{m}^{3}),
  • \pi R^{2}L é o volume do cilindro.
Essa densidade vai servir para calcular a carga contida em qualquer sub‑volume coaxial do cilindro.

Passo 3

Apresentar a lei de Gauss e explicar como ela será usada.
A lei de Gauss, em forma integral, diz:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é um elemento de área vetorial da superfície fechada \partial V,
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume V limitado por \partial V,
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Usamos a lei de Gauss porque o problema tem simetria cilíndrica: espera‑se que o campo elétrico, na região lateral e longe das extremidades, seja radial (apontando para fora ou para dentro) e dependa apenas da distância radial r ao eixo. Para aplicar a lei com segurança estamos assumindo simetria cilíndrica — isto corresponde a considerar pontos na superfície lateral longe das bordas (ou implicitamente o cilindro muito longo) para negligenciar efeitos de borda.

Passo 4

Escolher a superfície gaussiana e calcular o fluxo.
Escolha: superfície gaussiana é um cilindro coaxial de raio r e comprimento L (mesma posição axial do cilindro carregado). Pelo argumento de simetria:
  • \mathbf{E} tem direção radial e módulo E(r) que depende somente de r.
  • Nas tampas do cilindro gaussiano (planos perpendiculares ao eixo) o vetor \mathbf{E} é aproximadamente paralelo ao plano (ou muito pequeno) sob a suposição de comprimento grande, logo o fluxo através das tampas é desprezível; o fluxo importante é através da superfície lateral do cilindro gaussiano.
O fluxo pela superfície lateral vale:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot ( \text{área da lateral} )=E(r)\cdot(2\pi r L).á

Passo 5

Calcular a carga contida dentro da superfície gaussiana para r\le R (pontos internos) e obter E(r) interno.
A carga dentro do cilindro de raio r e comprimento L é:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot(\text{volume interior})=\rho\cdot(\pi r^{2} L).
Substituindo \rho de passo 2:
Q_{\text{int}}(r)=\frac{Q}{\pi R^{2} L}\cdot(\pi r^{2} L)=Q\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Logo, para r\le R:
E(r)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0} L r}\;Q\frac{r^{2}}{R^{2}}=\frac{Q\,r}{2\pi\varepsilon_{0} L R^{2}}.
Interpretação: dentro do cilindro o campo cresce linearmente com r.

Passo 6

Calcular E(r) para r\ge R (fora do cilindro).
Para r\ge R a superfície gaussiana engloba toda a carga do cilindro, então Q_{\text{int}}(r)=Q (toda a carga). Pela lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
Assim, para r\ge R:
E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0} L r}.
Esse é o comportamento de um fio cilíndrico carregado: E decai como 1/r fora do cilindro.

Passo 7

Avaliar o campo na superfície r=R e verificar continuidade.
Avaliar usando qualquer uma das expressões em r=R:
  • Se usar a expressão interna com r=R:
E(R)=\frac{Q\,R}{2\pi\varepsilon_{0} L R^{2}}=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0} L R}.
  • Se usar a expressão externa com r=R:
E(R)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0} L R}.
As duas coincidem, como deve acontecer para uma densidade volumétrica contínua (não há superfície carregada singular). A direção do campo é radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0).
Observação sobre hipóteses: a dedução assume simetria cilíndrica e homogeneidade ao longo do eixo, o que permite tomar a superfície gaussiana com comprimento L e desprezar fluxo pelas tampas. Em problemas reais com L pequeno comparado a R haveria correções por efeitos de borda; aqui presume‑se que queremos o resultado para a região lateral onde a simetria vale (ou que L é suficientemente grande).

Resposta

E(R)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_{0} L R},
direção radial para fora se Q>0 (para dentro se Q<0).

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