[2,0 pts.] 3) Calcule
\iint_{S}(x-1) d S
onde S é a parte da superficie (x-1)^{2}+y^{2}=1 entre z=0 e z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x-1)\,dS
onde S é a parte da superfície dada por (x-1)^{2}+y^{2}=1 limitada entre as alturas z=0 e z=x^{2}+y^{2}.\n
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação (x-1)^{2}+y^{2}=1 descreve uma superfície cilíndrica de eixo paralelo ao eixo z, centrada na linha x=1,\;y=0, com raio 1.
  • A parte de S considerada é a “casca” cilíndrica entre a altura inferior z=0 e a altura superior z=x^{2}+y^{2}.
  • Precisamos integrar a função escalar x-1 sobre essa superfície usando o elemento de área dS.

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície cilíndrica de modo simples. Como o cilindro tem raio 1 e centro em (1,0) no plano xy, uma parametrização natural é usar o ângulo \theta ao redor da circunferência e a coordenada z. Definimos
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(1+\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\big).
Aqui \theta varia de 0 a 2\pi e z varia entre as superfícies que limitam S (vamos determinar esse intervalo no próximo passo). Explicando a parametrização:
  • Quando \theta percorre [0,2\pi] fixando z, o ponto (1+\cos\theta,\sin\theta) descreve a circunferência de centro (1,0) e raio 1.
  • Variando z acompanhamos a altura ao longo do cilindro.

Passo 3

Calculemos os vetores parciais e o elemento de área dS. Derivadas parciais:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
O elemento de área é dado por |\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z|\,d\theta\,dz. Calculando o produto vetorial:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\cos\theta)\,\mathbf{i} + (\sin\theta)\,\mathbf{j} + 0\cdot\mathbf{k}.
O módulo é
\big|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1.
Portanto
dS = 1\cdot d\theta\,dz = d\theta\,dz.
Comentário didático: para um cilindro de raio 1 a área lateral elementar para um arco de ângulo d\theta e altura dz é realmente 1\cdot d\theta\cdot dz, por isso o resultado faz sentido.]

Passo 4

Precisamos agora dos limites de z em função de \theta. A superfície superior é z=x^{2}+y^{2}. Substitua x e y da parametrização:
x=1+\cos\theta,\qquad y=\sin\theta,
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x^{2}+y^{2}=(1+\cos\theta)^{2}+\sin^{2}\theta = 1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 2+2\cos\theta.
Portanto, para cada \theta o z varia de 0 até 2+2\cos\theta. Observação: para \theta=\pi temos 2+2\cos\pi=0, então a altura pode ser zero em alguns ângulos; isso está consistente com a descrição dada.
Assim os domínios são
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le z\le 2+2\cos\theta.

Passo 5

Agora escrevemos a integral de superfície usando a parametrização. A função integranda é x-1. Pela parametrização temos
x-1 = (1+\cos\theta)-1 = \cos\theta.
Usando dS=d\theta\,dz, a integral fica
\iint_{S}(x-1)\,dS=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{2+2\cos\theta} \cos\theta\,dz\,d\theta.

Passo 6

Integramos primeiro em z (é simples porque a integranda não depende de z):
\int_{z=0}^{2+2\cos\theta}\cos\theta\,dz = \cos\theta\cdot\big(2+2\cos\theta\big).
Portanto a integral reduz-se a uma integral em \theta:
\iint_{S}(x-1)\,dS=\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\big(2+2\cos\theta\big)\,d\theta.

Passo 7

Simplifiquemos e calculemos a integral trigonométrica. Expandindo:
\cos\theta\big(2+2\cos\theta\big)=2\cos\theta+2\cos^{2}\theta.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental para \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo:
2\cos\theta+2\cos^{2}\theta = 2\cos\theta + 2\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2} = 2\cos\theta + 1 + \cos(2\theta).
Assim
\iint_{S}(x-1)\,dS = \int_{0}^{2\pi}\big(1 + 2\cos\theta + \cos(2\theta)\big)\,d\theta.

Passo 8

Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{2\pi}2\cos\theta\,d\theta = 2\big[\sin\theta\big]_{0}^{2\pi}=2(0-0)=0,
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{2\pi} = \tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Somando:
\iint_{S}(x-1)\,dS = 2\pi + 0 + 0 = 2\pi.

Resposta

2\pi

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