onde S é a parte da superficie (x-1)^{2}+y^{2}=1 entre z=0 e z=x^{2}+y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x-1)\,dS
onde S é a parte da superfície dada por (x-1)^{2}+y^{2}=1 limitada entre as alturas z=0 e z=x^{2}+y^{2}.\n
Informações relevantes do enunciado:
A equação (x-1)^{2}+y^{2}=1 descreve uma superfície cilíndrica de eixo paralelo ao eixo z, centrada na linha x=1,\;y=0, com raio 1.
A parte de S considerada é a “casca” cilíndrica entre a altura inferior z=0 e a altura superior z=x^{2}+y^{2}.
Precisamos integrar a função escalar x-1 sobre essa superfície usando o elemento de área dS.
Passo 2
Vamos parametrizar a superfície cilíndrica de modo simples. Como o cilindro tem raio 1 e centro em (1,0) no plano xy, uma parametrização natural é usar o ângulo \theta ao redor da circunferência e a coordenada z. Definimos
Aqui \theta varia de 0 a 2\pi e z varia entre as superfícies que limitam S (vamos determinar esse intervalo no próximo passo). Explicando a parametrização:
Quando \theta percorre [0,2\pi] fixando z, o ponto (1+\cos\theta,\sin\theta) descreve a circunferência de centro (1,0) e raio 1.
Variando z acompanhamos a altura ao longo do cilindro.
Passo 3
Calculemos os vetores parciais e o elemento de área dS. Derivadas parciais:
Comentário didático: para um cilindro de raio 1 a área lateral elementar para um arco de ângulo d\theta e altura dz é realmente 1\cdot d\theta\cdot dz, por isso o resultado faz sentido.]
Passo 4
Precisamos agora dos limites de z em função de \theta. A superfície superior é z=x^{2}+y^{2}. Substitua x e y da parametrização:
Portanto, para cada \theta o z varia de 0 até 2+2\cos\theta. Observação: para \theta=\pi temos 2+2\cos\pi=0, então a altura pode ser zero em alguns ângulos; isso está consistente com a descrição dada.