[2,0 pts.] 5)’ Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
\vec{G}=\frac{\vec{r}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \vec{r}=(x, y, z)
através da superfície que é a borda (fronteira) da região R: 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{G}=\frac{\vec{r}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \vec{r}=(x,y,z),
e a região
R:\;1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4.
A superfície solicitada é a fronteira de R (ou seja, as duas esferas de raio 1 e 2, com a normal apontando para fora da região R). A pergunta é: calcular o fluxo de \vec{G} através dessa superfície (fluxo com orientação externa).

Passo 2

Vamos usar um teorema que relaciona fluxo de um campo vetorial pela fronteira de uma região com uma integral sobre o volume da região. Enunciado do teorema (forma útil aqui):
\text{Se }\vec{F}\text{ for }C^{1}\text{ em }R\text{ (e na fronteira)},\text{ então } \iint_{\partial R}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{R}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,ã
onde \vec{n} é a normal externa e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Antes de aplicar, verifico a regularidade: \vec{G} tem singularidade na origem, mas a origem tem x^{2}+y^{2}+z^{2}=0, e essa ponto NÃO pertence a R (pois r^{2}\ge1 em R). Logo \vec{G} é C^{1} em R e no seu contorno, e o teorema pode ser aplicado.

Passo 3

Calculo a divergência \nabla\cdot\vec{G}. Uma forma prática: escrevo \vec{G}=f(r)\,\vec{r} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} e f(r)=1/r^{2}. Para campos radiais da forma f(r)\vec{r} vale a identidade
\nabla\cdot\big(f(r)\vec{r}\big)=3f(r)+r f'(r).
Aqui f(r)=r^{-2} e f'(r)=-2r^{-3}. Então
\nabla\cdot\vec{G}=3\cdot r^{-2}+r\cdot(-2r^{-3})=\frac{3}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}=\frac{1}{r^{2}}.
Portanto, para todo ponto de R (onde r>0),
\nabla\cdot\vec{G}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{\partial R}\vec{G}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{R}\frac{1}{r^{2}}\,dV.
Agora uso coordenadas esféricas, que são perfeitas para regiões esféricas. Lembretes rápidos das esféricas:
x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta,
com r\ge0, 0\le\theta\le\pi (ângulo polar) e 0\le\varphi<2\pi (azimute). O elemento de volume é
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo o integrando 1/r^{2} e o dV, obtemos integrando em R (onde 1\le r\le2):
\iiint_{R}\frac{1}{r^{2}}\,dV =\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=1}^{2}\frac{1}{r^{2}}\;r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
O fator r^{2} do dV cancela com 1/r^{2}, sobrando
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\;\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{1}^{2}dr.

Passo 5

Faço as integrais uma a uma (são todas fáceis):
\int_{1}^{2}dr=2-1=1,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=[- \cos\theta]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-( -1)=2,
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
Multiplicando os resultados:
1\cdot 2\cdot 2\pi=4\pi.
Logo o fluxo total através da fronteira de R é 4\pi.

Passo 6

(Facultativo — verificação direta por superfície) Como checagem rápida: em uma esfera de raio a tem-se \vec{G}\cdot\vec{n}=1/a (pois \vec{n}=\pm\hat{r} e \vec{G}=\hat{r}/a), então o fluxo sobre a esfera de raio a com normal apontando para fora do volume interno é (1/a)\cdot 4\pi a^{2}=4\pi a. Para a região em forma de casca, a fronteira consiste em esfera externa a=2 (normal externa \hat r) e esfera interna a=1 (a normal externa do casca aponta para dentro do interior da esfera, isto é -\hat r), então fluxos são 4\pi\cdot 2=8\pi pela externa e 4\pi\cdot 1 pela interna mas com sinal negativo (porque a normal é -\hat r), total 8\pi-4\pi=4\pi. Concorda com o cálculo via divergência.

Resposta

4\pi

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