[2,0 pts.] 5)’ Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
através da superfície que é a borda (fronteira) da região
.
Passo 1
O enunciado dá:
e a região
A superfície solicitada é a fronteira de
(ou seja, as duas esferas de raio
e
, com a normal apontando para fora da região
). A pergunta é: calcular o fluxo de
através dessa superfície (fluxo com orientação externa).
Passo 2
Vamos usar um teorema que relaciona fluxo de um campo vetorial pela fronteira de uma região com uma integral sobre o volume da região. Enunciado do teorema (forma útil aqui):
onde
é a normal externa e
é a divergência de
. Antes de aplicar, verifico a regularidade:
tem singularidade na origem, mas a origem tem
, e essa ponto NÃO pertence a
(pois
em
). Logo
é
em
e no seu contorno, e o teorema pode ser aplicado.
Passo 3
Calculo a divergência
. Uma forma prática: escrevo
com
e
. Para campos radiais da forma
vale a identidade
Aqui
e
. Então
Portanto, para todo ponto de
(onde
),
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência:
Agora uso coordenadas esféricas, que são perfeitas para regiões esféricas. Lembretes rápidos das esféricas:
com
,
(ângulo polar) e
(azimute). O elemento de volume é
Substituindo o integrando
e o
, obtemos integrando em
(onde
):
O fator
do
cancela com
, sobrando
Passo 5
Faço as integrais uma a uma (são todas fáceis):
Multiplicando os resultados:
Logo o fluxo total através da fronteira de
é
.
Passo 6
(Facultativo — verificação direta por superfície) Como checagem rápida: em uma esfera de raio
tem-se
(pois
e
), então o fluxo sobre a esfera de raio
com normal apontando para fora do volume interno é
. Para a região em forma de casca, a fronteira consiste em esfera externa
(normal externa
) e esfera interna
(a normal externa do casca aponta para dentro do interior da esfera, isto é
), então fluxos são
pela externa e
pela interna mas com sinal negativo (porque a normal é
), total
. Concorda com o cálculo via divergência.