[2,0 pts.] 4) Use o Teorema de Stokes para calcular a circulação do campo
\vec{F}=\left(\cos \left(\sqrt{x^{4}+1}\right)+y,(y+2)^{y}+2 x z, 2 x+\operatorname{cosh} ^{2}(z)\right)
ao longo da curva C: \vec{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, 2 \operatorname{sen} t), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede a circulação do campo ao longo da curva C. Dados fornecidos:
\vec{F}=\big(\cos(\sqrt{x^{4}+1})+y,\; (y+2)^{y}+2xz,\; 2x+\operatorname{cosh}^{2}(z)\big)
e
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;2\sin t),\qquad t\in[0,2\pi].
A tarefa é calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Stokes. Vou escrever a fórmula e explicar cada termo:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Aqui:
  • S é uma superfície orientada cujo bordo é a curva C (ou seja, \partial S=C);
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F};
  • \vec{n} é o vetor normal à superfície S compatível com a orientação de C pela regra da mão direita;
  • dS é o elemento de área da superfície.
    A ideia é substituir a integral de linha por uma integral dupla do rotacional sobre uma superfície com \partial S=C. Vou escolher uma superfície simples cujo bordo seja exatamente a curva C.

Passo 3

Identifico a superfície natural para usar: pela parametrização de C vemos que a projeção no plano xy é o círculo de raio 1 (pois (\cos t,\sin t) descreve o círculo unitário) e a coordenada z satisfaz
z=2\sin t=2y.
Logo a curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=2y. Uma superfície conveniente com bordo C é o disco planar contido no plano z=2y e com projeção no disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}. Vou parametrizar essa superfície como um gráfico sobre (x,y).

Passo 4

Parâmetrização da superfície S:
\vec{R}(u,v)=(u,\;v,\;2v),\qquad (u,v)\in D,\; D=\{(u,v):u^{2}+v^{2}\le1\}.
Calculo os vetores tangentes:
\vec{R}_u=(1,0,0),\qquad \vec{R}_v=(0,1,2).
O produto vetorial (vetor normal orientado pela ordem u,v) é
\vec{R}_u\times\vec{R}_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} =(0,-2,1).
Observação sobre orientação: o componente z desse normal é +1 (positivo), portanto o normal aponta “para cima” em relação ao eixo z. A projeção de C no plano xy é o círculo percorrido no sentido anti-horário (quando t aumenta de 0 a 2\pi), e para o gráfico z=2y um normal com componente z>0 induz essa orientação anti-horária na fronteira. Assim a escolha de \vec{R}_u\times\vec{R}_v está compatível com a parametrização dada de C.

Passo 5

Calculo o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com
F_1=\cos(\sqrt{x^4+1})+y,\quad F_2=(y+2)^{y}+2xz,\quad F_3=2x+\operatorname{cosh}^{2}(z),
o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
Calculo cada derivada parcial necessária:
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}=0 (pois F_3 não depende de y);
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\big((y+2)^{y}+2xz\big)=2x (a primeira parcela independe de z);
  • portanto a primeira componente é \;0-2x=-2x.
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}=0 (pois F_1 não depende de z);
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+\operatorname{cosh}^{2}z)=2;
  • portanto a segunda componente é \;0-2=-2.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big((y+2)^{y}+2xz\big)=2z;
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(\sqrt{x^4+1})+y\big)=1.
  • portanto a terceira componente é \;2z-1.
Assim
\nabla\times\vec{F}=(-2x,\;-2,\;2z-1).

Passo 6

Vou calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{R}_u\times\vec{R}_v). Usando \vec{R}_u\times\vec{R}_v=(0,-2,1) e \nabla\times\vec{F}=(-2x,-2,2z-1),
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{R}_u\times\vec{R}_v)=(-2x)\cdot0+(-2)\cdot(-2)+(2z-1)\cdot1=4+2z-1=3+2z.
Na parametrização da superfície z=2v, substituo z=2v para escrever o integrando em termos de u,v:
3+2z=3+2(2v)=3+4v.

Passo 7

Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}\big[(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{R}_u\times\vec{R}_v)\big]\,du\,dv =\iint_{D}(3+4v)\,du\,dv,
onde D é o disco u^{2}+v^{2}\le1. Passo para coordenadas polares no plano uv: u=r\cos\theta,\; v=r\sin\theta,\; 0\le r\le1,\; 0\le\theta\le2\pi, e o jacobiano é r. Assim
\iint_{D}(3+4v)\,du\,dv=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(3+4r\sin\theta\big)r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(3r+4r^{2}\sin\theta\big)\,dr\,d\theta.
Calculo interno em r:
\int_{0}^{1}3r\,dr=\frac{3}{2},\qquad \int_{0}^{1}4r^{2}\sin\theta\,dr=\frac{4}{3}\sin\theta.
Logo a integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi}\Big(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\sin\theta\Big)\,d\theta =\frac{3}{2}\cdot 2\pi + \frac{4}{3}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
Como \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, resta
\frac{3}{2}\cdot 2\pi=3\pi.

Passo 8

Concluo que a circulação do campo \vec{F} ao longo da curva C é 3\pi. Força: você conseguiu — o cálculo principal foi usar Stokes, achar o rotacional e reduzir a integral de linha a uma integral sobre o disco, que ficou bem simples.

Resposta

\;3\pi

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