S é uma superfície orientada cujo bordo é a curva C (ou seja, \partial S=C);
\nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F};
\vec{n} é o vetor normal à superfície S compatível com a orientação de C pela regra da mão direita;
dS é o elemento de área da superfície.
A ideia é substituir a integral de linha por uma integral dupla do rotacional sobre uma superfície com \partial S=C. Vou escolher uma superfície simples cujo bordo seja exatamente a curva C.
Passo 3
Identifico a superfície natural para usar: pela parametrização de C vemos que a projeção no plano xy é o círculo de raio 1 (pois (\cos t,\sin t) descreve o círculo unitário) e a coordenada z satisfaz
z=2\sin t=2y.
Logo a curva C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano z=2y. Uma superfície conveniente com bordo C é o disco planar contido no plano z=2y e com projeção no disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}. Vou parametrizar essa superfície como um gráfico sobre (x,y).
Observação sobre orientação: o componente z desse normal é +1 (positivo), portanto o normal aponta “para cima” em relação ao eixo z. A projeção de C no plano xy é o círculo percorrido no sentido anti-horário (quando t aumenta de 0 a 2\pi), e para o gráfico z=2y um normal com componente z>0 induz essa orientação anti-horária na fronteira. Assim a escolha de \vec{R}_u\times\vec{R}_v está compatível com a parametrização dada de C.
Passo 5
Calculo o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) com
Vou calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{R}_u\times\vec{R}_v). Usando \vec{R}_u\times\vec{R}_v=(0,-2,1) e \nabla\times\vec{F}=(-2x,-2,2z-1),
onde D é o disco u^{2}+v^{2}\le1. Passo para coordenadas polares no plano uv: u=r\cos\theta,\; v=r\sin\theta,\; 0\le r\le1,\; 0\le\theta\le2\pi, e o jacobiano é r. Assim
Concluo que a circulação do campo \vec{F} ao longo da curva C é 3\pi. Força: você conseguiu — o cálculo principal foi usar Stokes, achar o rotacional e reduzir a integral de linha a uma integral sobre o disco, que ficou bem simples.