[2,0 pts] Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é curva determinada pela interseção do plano x+z=2 com o cilindro x^{2}+y^{2}=4 com orientação anti horária vista de cima, e \vec{F}(x, y, z)=\left(4 y, x, z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha fechada \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C é a curva dada pela interseção do plano x+z=2 com o cilindro x^{2}+y^{2}=4. A orientação de C é anti-horária vista de cima (isto é, vista no sentido positivo do eixo z). A campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(4y,\;x,\;z^{2}\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Curva } C:\\ \text{interseção de } x+z=2 \text{ com } x^{2}+y^{2}=4,\\\ &\text{Orientação de } C:\\ \text{anti-horária vista de cima (sentido positivo de } z),\\\ &\vec{F}(x,y,z)=\bigl(4y,\;x,\;z^{2}\bigr). \end{aligned}çãçãá

Passo 2

Qual método usar? Aqui é muito conveniente aplicar o Teorema de Stokes, porque ele transforma a integral de linha sobre a curva fechada C numa integral de superfície do rotor (curl) de \vec{F} sobre qualquer superfície S cujo contorno seja C. O Teorema de Stokes diz:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário à superfície S escolhido de acordo com a orientação de C (regra da mão direita). Vou usar S como a parte do plano x+z=2 limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\vec{F}. Lembre que para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) temos
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Aplicando a \vec{F}=(4y,\;x,\;z^{2}):
\begin{aligned} &\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial z^{2}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial z}=0,\\\ &\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial (4y)}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial z^{2}}{\partial x}=0,\\\ &\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial (4y)}{\partial y}=4. \end{aligned}
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(0-0,\;0-0,\;1-4)=(0,\;0,\;-3).
Observação: o rotor é constante e igual a \displaystyle (0,0,-3), o que facilita muito a integral de superfície.

Passo 4

Escolher a superfície S e a orientação correta. Vou tomar S como a porção do plano x+z=2 sobre o disco x^{2}+y^{2}\le 4. Podemos escrever o plano como função z=g(x,y)=2-x definida sobre o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
A orientação pedida para C é anti-horária vista de cima (isto é, no sentido positivo do eixo z). Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal da superfície com componente z positiva (normal apontando “para cima”). Para a superfície z=g(x,y) o vetor normal não unitário que aponta para cima é
\vec{N}=(-g_x,-g_y,1).

Passo 5

Calcular g_x e g_y e o vetor normal não unitário. Temos g(x,y)=2-x, então
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(2-x)=-1,\qquad g_y=0.
Logo
\vec{N}=(-g_x,-g_y,1)=(1,0,1).
Este vetor tem componente z positiva, então sua orientação é compatível com a orientação de C dada.
Pelo Teorema de Stokes, uma forma prática é calcular a integral de superfície usando o vetor normal não unitário:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS =\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}\,dA,
onde dA é a área no plano xy (projeção). Aqui \vec{N}=(1,0,1) e \nabla\times\vec{F}=(0,0,-3), então
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{N}=(0,0,-3)\cdot(1,0,1)=-3.

Passo 6

Montar e calcular a integral sobre a região projetada D, que é o disco de raio 2:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}-3\,dA=-3\cdot\text{Área}(D).Á
A área do disco de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi. Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-3\cdot 4\pi=-12\pi.

Resposta

-12\pi

Exercícios relacionados