[2,0 pts] Calcule
, onde
é curva determinada pela interseção do plano
com o cilindro
com orientação anti horária vista de cima, e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha fechada
, onde
é a curva dada pela interseção do plano
com o cilindro
. A orientação de
é anti-horária vista de cima (isto é, vista no sentido positivo do eixo
). A campo vetorial é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Qual método usar? Aqui é muito conveniente aplicar o Teorema de Stokes, porque ele transforma a integral de linha sobre a curva fechada
numa integral de superfície do rotor (curl) de
sobre qualquer superfície
cujo contorno seja
. O Teorema de Stokes diz:
onde
é o vetor normal unitário à superfície
escolhido de acordo com a orientação de
(regra da mão direita). Vou usar
como a parte do plano
limitada pelo cilindro
.
Passo 3
Calcular o rotor
. Lembre que para
temos
Aplicando a
:
Portanto
Observação: o rotor é constante e igual a
, o que facilita muito a integral de superfície.
Passo 4
Escolher a superfície
e a orientação correta. Vou tomar
como a porção do plano
sobre o disco
. Podemos escrever o plano como função
definida sobre o disco
.
A orientação pedida para
é anti-horária vista de cima (isto é, no sentido positivo do eixo
). Pela regra da mão direita, isso corresponde a escolher a normal da superfície com componente
positiva (normal apontando “para cima”). Para a superfície
o vetor normal não unitário que aponta para cima é
Passo 5
Calcular
e
e o vetor normal não unitário. Temos
, então
Logo
Este vetor tem componente
positiva, então sua orientação é compatível com a orientação de
dada.
Pelo Teorema de Stokes, uma forma prática é calcular a integral de superfície usando o vetor normal não unitário:
onde
é a área no plano
(projeção). Aqui
e
, então
Passo 6
Montar e calcular a integral sobre a região projetada
, que é o disco de raio
:
A área do disco de raio
é
. Portanto