[2,0 \mathrm{pts}] Calcule \int_{C} 2 x+y-z d s onde C é o segmento de reta ligando os pontos (-1,1,3) ao ponto ( 2,3,2 ).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (2x+y-z)\,ds
onde C é o segmento de reta que liga os pontos P_0=(-1,1,3) e P_1=(2,3,2).
Informações dadas:
P_0 = (-1,1,3),\qquad P_1 = (2,3,2),
a função a integrar ao longo de C é 2x+y-z e o elemento de comprimento é ds. A curva C é um segmento de reta (portanto podemos parametricamente representá-la de maneira simples).
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicação didática): para uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com t variando em um intervalo [a,b], a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) com respeito a ds é dada por
Aqui \mathbf{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização e \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert é o comprimento instantâneo (velocidade) — isso transforma ds em \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert\,dt. Vou parametrizar o segmento de reta de P_0 a P_1 com t\in[0,1], que é a parametrização mais direta e fácil de usar numa prova.
Passo 3
Parametrização do segmento: o vetor diretor do segmento é \overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0=(3,2,-1). Uma parametrização linear que vai de P_0 a P_1 é