[2,0 \mathrm{pts}] Calcule \int_{C} 2 x+y-z d s onde C é o segmento de reta ligando os pontos (-1,1,3) ao ponto ( 2,3,2 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (2x+y-z)\,ds
onde C é o segmento de reta que liga os pontos P_0=(-1,1,3) e P_1=(2,3,2).
Informações dadas:
P_0 = (-1,1,3),\qquad P_1 = (2,3,2),
a função a integrar ao longo de C é 2x+y-z e o elemento de comprimento é ds. A curva C é um segmento de reta (portanto podemos parametricamente representá-la de maneira simples).

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática): para uma curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) com t variando em um intervalo [a,b], a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z) com respeito a ds é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert\,dt.
Aqui \mathbf{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização e \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert é o comprimento instantâneo (velocidade) — isso transforma ds em \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert\,dt. Vou parametrizar o segmento de reta de P_0 a P_1 com t\in[0,1], que é a parametrização mais direta e fácil de usar numa prova.

Passo 3

Parametrização do segmento: o vetor diretor do segmento é \overrightarrow{P_0P_1}=P_1-P_0=(3,2,-1). Uma parametrização linear que vai de P_0 a P_1 é
\mathbf{r}(t)=P_0+t(P_1-P_0)=(-1,1,3)+t(3,2,-1), \qquad t\in[0,1].
Escrevendo componente a componente:
x(t)=-1+3t,\qquad y(t)=1+2t,\qquad z(t)=3-t,\qquad t\in[0,1].

Passo 4

Calculamos \mathbf{r}\,'(t) e seu módulo (que é \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert):
\mathbf{r}\,'(t)=(3,2,-1).
Esse vetor é constante porque é um segmento de reta. O módulo é
\big\lVert\mathbf{r}\,'(t)\big\rVert = \sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.
Conclusão útil: \lVert\mathbf{r}\,'(t)\rVert é constante igual a \sqrt{14}, então vai sair da integral como fator constante.

Passo 5

Agora substituímos a parametrização na função integranda f(x,y,z)=2x+y-z. Calculamos passo a passo:
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=2\big(-1+3t\big)+\big(1+2t\big)-\big(3-t\big).
Desenvolvendo os termos:
2(-1+3t) = -2+6t,
1+2t = 1+2t,
-(3-t) = -3 + t.
Somando tudo:
-2+6t + 1+2t -3 + t = (-2+1-3) + (6t+2t+t) = -4 + 9t.
Portanto
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=9t-4.

Passo 6

Montamos a integral em t usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C} (2x+y-z)\,ds = \int_{0}^{1} \big(9t-4\big)\,\big\lVert\mathbf{r}\,'(t)\big\rVert\,dt = \int_{0}^{1} \big(9t-4\big)\sqrt{14}\,dt.
Como \sqrt{14} é constante, fatoramos:
= \sqrt{14}\int_{0}^{1} (9t-4)\,dt.
Integramos o polinômio termo a termo. Lembre que \int 9t\,dt = \tfrac{9}{2}t^2 e \int -4\,dt = -4t. Assim
\sqrt{14}\int_{0}^{1} (9t-4)\,dt = \sqrt{14}\left[\frac{9}{2}t^2-4t\right]_{0}^{1}.

Passo 7

Avaliação da primitiva no intervalo [0,1]:
\left[\frac{9}{2}t^2-4t\right]_{0}^{1} = \left(\frac{9}{2}\cdot 1^2 -4\cdot 1\right)-0 = \frac{9}{2}-4 = \frac{9-8}{2}=\frac{1}{2}.
Multiplicando por \sqrt{14} obtemos
\int_{C} (2x+y-z)\,ds = \sqrt{14}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{14}.

Resposta

\tfrac{1}{2}\sqrt{14}

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