Seja
e
o pedaço do círculo
orientação anti horária. Resolva
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
onde
é o pedaço do círculo
sujeito a
com orientação anti-horária. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é o arco do círculo de raio localizado no quarto quadrante (pois e ). - Os extremos desse arco são os pontos
e (são interseções do círculo com os eixos). - A orientação anti-horária em um arco do quarto quadrante corresponde a aumentar o ângulo polar
de até ; portanto o ponto inicial é e o ponto final é . - O integrando é o produto escalar
.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente
. Primeiro lembro rapidamente o que é derivada parcial:
é a taxa de variação de
quando só
muda;
é a taxa de variação quando só
muda. Como
depende apenas de
, a derivada parcial em
é zero. Agora cálculo a parcial em
usando a regra da cadeia:
Logo o gradiente é
Passo 3
Quero explicar por que o cálculo fica muito simples: existe um resultado que diz o seguinte (mostro a ideia com uma demonstração curta e clara). Se uma função escalar
tem gradiente contínuo e
é uma parametrização de
para
, então pela regra da cadeia
Integrando ambos os lados de
até
obtemos
O lado esquerdo é exatamente
. Esse é o teorema fundamental para integrais de linha de campos gradiente: a integral depende só dos valores de
nos extremos da curva, não do caminho. Aqui é legítimo usar isso porque
é contínuo (a função é suave).
Passo 4
Determine os pontos inicial e final do arco com base na orientação anti-horária (usei isso no Passo 1, repito com mais clareza):
- Parametrização natural do círculo é
. - O quarto quadrante segundo o enunciado corresponde a
. - Orientação anti-horária implica
cresce de até . - Portanto o ponto inicial (em
) é e o ponto final (em ) é .
Passo 5
Aplique o teorema do Passo 3:
.
Calcule nos extremos (lembre que
depende só de
):
Calcule
Então
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: poderíamos ter parametrizado e calculado diretamente
, mas isso daria uma integral com composição menos direta; usar o teorema do Passo 3 torna o cálculo rápido e seguro. Resultado final obtido é simples e fácil de memorizar para casos de integrais de gradiente — sempre igual à diferença entre valores de
nos extremos.