[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
O enunciado dá a equação diferencial de terceira ordem
8 \frac{d^{3}C}{dt^{3}} + 20 \frac{d^{2}C}{dt^{2}} + 15 \frac{dC}{dt} + K C = 0,
onde C(t) é a variável de estado (concentração) e K é um parâmetro (o último número de matrícula). A pergunta (parte c) pede: calcular a matriz Jacobiana J.
Informações relevantes que eu vou usar (tiradas do enunciado):
A equação é de terceira ordem linear homogênea com coeficientes constantes.
K é um parâmetro simbólico (não foi dado numericamente), então a resposta deve depender de K.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a equação de terceira ordem num sistema de primeira ordem. Isso é obrigatório porque a definição de Jacobiana se aplica a um sistema de primeiras ordens.
Observação: o sistema é linear e autônomo (não depende explicitamente de t), portanto a Jacobiana será uma matriz constante (não depende de x).]
Passo 4
Definição e interpretação da Jacobiana: para um sistema \dfrac{dx}{dt}=f(x) com f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, a matriz Jacobiana J é a matriz das derivadas parciais
J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}.
Ela descreve como cada componente de f varia com cada variável de estado; para um sistema linear f(x)=A x, a Jacobiana coincide com a matriz A.
Vou calcular as derivadas parciais componente a componente.