[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0
onde:
  • C(t) é concentração de oxigênio dissolvido,
  • K é o seu último número de matrícula.
c) Calcule a matriz Jacobiana (J);

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de terceira ordem
8 \frac{d^{3}C}{dt^{3}} + 20 \frac{d^{2}C}{dt^{2}} + 15 \frac{dC}{dt} + K C = 0,
onde C(t) é a variável de estado (concentração) e K é um parâmetro (o último número de matrícula). A pergunta (parte c) pede: calcular a matriz Jacobiana J.
Informações relevantes que eu vou usar (tiradas do enunciado):
  • A equação é de terceira ordem linear homogênea com coeficientes constantes.
  • K é um parâmetro simbólico (não foi dado numericamente), então a resposta deve depender de K.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a equação de terceira ordem num sistema de primeira ordem. Isso é obrigatório porque a definição de Jacobiana se aplica a um sistema de primeiras ordens.
Defino as variáveis de estado:
x_1 = C,\qquad x_2 = \frac{dC}{dt},\qquad x_3 = \frac{d^2C}{dt^2}.
Então as derivadas são:
\frac{dx_1}{dt} = x_2, \qquad \frac{dx_2}{dt} = x_3.
Agora preciso escrever \dfrac{dx_3}{dt} = C^{(3)} em função de x_1,x_2,x_3. Da equação dada,
8 C^{(3)} + 20 C'' + 15 C' + K C = 0
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C^{(3)} = -\frac{20}{8} C'' - \frac{15}{8} C' - \frac{K}{8} C.
Substituindo C=C(x_1), C'=x_2, C''=x_3, obtemos:
\frac{dx_3}{dt} = -\frac{20}{8}\,x_3 - \frac{15}{8}\,x_2 - \frac{K}{8}\,x_1.

Passo 3

Escrevo o sistema de primeira ordem na forma vetorial \dfrac{dx}{dt}=f(x), com x=(x_1,x_2,x_3)^\top. O vetor f(x) é:
f(x)=\begin{pmatrix} x_2\\[4pt] x_3\\[4pt] -\dfrac{K}{8}x_1 - \dfrac{15}{8}x_2 - \dfrac{20}{8}x_3 \end{pmatrix}.
Observação: o sistema é linear e autônomo (não depende explicitamente de t), portanto a Jacobiana será uma matriz constante (não depende de x).]

Passo 4

Definição e interpretação da Jacobiana: para um sistema \dfrac{dx}{dt}=f(x) com f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, a matriz Jacobiana J é a matriz das derivadas parciais
J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}.
Ela descreve como cada componente de f varia com cada variável de estado; para um sistema linear f(x)=A x, a Jacobiana coincide com a matriz A.
Vou calcular as derivadas parciais componente a componente.
  • Para f_1(x)=x_2:
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1}=0,\quad \frac{\partial f_1}{\partial x_2}=1,\quad \frac{\partial f_1}{\partial x_3}=0.
  • Para f_2(x)=x_3:
    \frac{\partial f_2}{\partial x_1}=0,\quad \frac{\partial f_2}{\partial x_2}=0,\quad \frac{\partial f_2}{\partial x_3}=1.
  • Para f_3(x)=-\dfrac{K}{8}x_1 - \dfrac{15}{8}x_2 - \dfrac{20}{8}x_3:
    \frac{\partial f_3}{\partial x_1}=-\frac{K}{8},\quad \frac{\partial f_3}{\partial x_2}=-\frac{15}{8},\quad \frac{\partial f_3}{\partial x_3}=-\frac{20}{8}.

Passo 5

Agora monto a matriz Jacobiana juntando as derivadas parciais por linhas:
J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -\dfrac{K}{8} & -\dfrac{15}{8} & -\dfrac{20}{8} \end{pmatrix}.
Para alternativa com coeficientes simplificados, nota-se que \dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2} e \dfrac{15}{8} permanece \dfrac{15}{8}. Assim outra escrita é
J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -\dfrac{K}{8} & -\dfrac{15}{8} & -\dfrac{5}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -\dfrac{K}{8} & -\dfrac{15}{8} & -\dfrac{20}{8} \end{pmatrix}]

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