[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido,
, em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
onde:
-
é concentração de oxigênio dissolvido,
- K é o seu último número de matrícula.
a) Qual o grau e a ordem da Equação 1?
Considere a concentração de oxigênio dissolvido,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
onde
é a concentração e
é uma constante (o último dígito da matrícula). A pergunta (a) é: qual o grau e a ordem da Equação 1?
Informações relevantes: a equação está escrita em termos de derivadas de até a terceira derivada; os coeficientes numéricos são
e
.
Informações relevantes: a equação está escrita em termos de derivadas de
Passo 2
Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Aqui aparecem
,
e
. O maior índice é
(porque existe o termo
com coeficiente
). Portanto a ordem é
.
Passo 3
Definição de grau: o grau de uma equação diferencial (quando bem definido) é o expoente da maior derivada depois que a equação foi transformada em um polinômio nas derivadas — isto é, quando a equação é polinomial em todas as derivadas. Se houver raízes, potências fracionárias, funções transcendentes das derivadas ou denominadores envolvendo derivadas, o grau pode não estar bem definido até eliminar essas operações. Nesta equação já temos um polinômio nas derivadas (nenhuma derivada aparece dentro de radical, denominador ou função não polinomial).
Aplicando a definição de grau ao nosso caso: o termo de maior ordem é e ele aparece elevado à potência
(ou seja,
). Logo o grau da equação é
.
Aplicando a definição de grau ao nosso caso: o termo de maior ordem é
Passo 4
Observação prática/rápida: o valor de
não altera ordem nem grau aqui, porque
multiplica
, não a derivada de maior ordem; e o coeficiente
garante que a ordem real é
.
Resposta
Ordem:
Grau:
Grau: