[2.0 pts] Modelo Dinâmico de Transferência de Oxigênio
Considere a concentração de oxigênio dissolvido, C(t), em um biorreator. Uma modelagem simplificada pode gerar:
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0
onde:
  • C(t) é concentração de oxigênio dissolvido,
  • K é o seu último número de matrícula.
a) Qual o grau e a ordem da Equação 1?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
8 \frac{d^{3} C}{d t^{3}}+20 \frac{d^{2} C}{d t^{2}}+15 \frac{d C}{d t}+K C=0,
onde C(t) é a concentração e K é uma constante (o último dígito da matrícula). A pergunta (a) é: qual o grau e a ordem da Equação 1?
Informações relevantes: a equação está escrita em termos de derivadas de C(t) até a terceira derivada; os coeficientes numéricos são 8,20,15 e K.

Passo 2

Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Aqui aparecem \dfrac{dC}{dt}, \dfrac{d^{2}C}{dt^{2}} e \dfrac{d^{3}C}{dt^{3}}. O maior índice é 3 (porque existe o termo 8\,\dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} com coeficiente 8\neq0). Portanto a ordem é 3.

Passo 3

Definição de grau: o grau de uma equação diferencial (quando bem definido) é o expoente da maior derivada depois que a equação foi transformada em um polinômio nas derivadas — isto é, quando a equação é polinomial em todas as derivadas. Se houver raízes, potências fracionárias, funções transcendentes das derivadas ou denominadores envolvendo derivadas, o grau pode não estar bem definido até eliminar essas operações. Nesta equação já temos um polinômio nas derivadas (nenhuma derivada aparece dentro de radical, denominador ou função não polinomial).
Aplicando a definição de grau ao nosso caso: o termo de maior ordem é \dfrac{d^{3}C}{dt^{3}} e ele aparece elevado à potência 1 (ou seja, \left(\dfrac{d^{3}C}{dt^{3}}\right)^{1}). Logo o grau da equação é 1.

Passo 4

Observação prática/rápida: o valor de K não altera ordem nem grau aqui, porque K multiplica C, não a derivada de maior ordem; e o coeficiente 8 garante que a ordem real é 3.

Resposta

Ordem: 3
Grau: 1

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