-
(
-
(a) Se
, mostre que
não existe
(
(a) Se
, mostre que
não existe
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada de
em
não existe, onde
é a função
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos saber se
existe (ou seja, se a derivada em existe).
Passo 2
Relembrando a definição fundamental de derivada num ponto: a derivada de
em
é o limite (se existir e for finito)
Essa expressão é a razão incremental de
em torno de
. Para que
exista, esse limite deve existir e ser um número real único; em particular, os limites laterais (quando
e
) devem ser iguais e finitos.
Passo 3
Calcular a razão incremental para
em
. Como
, temos
Simplificando potências, usando a regra
, obtemos
Portanto
Passo 4
Analisar o limite de
quando
. Lembrando que
é a raiz cúbica de
, que preserva o sinal (a raiz cúbica de número negativo é negativa).
- Para
(apenas valores positivos de tendendo a zero), tem-se . Então . - Para
(apenas valores negativos de tendendo a zero), tem-se . Então .
Como os limites laterais são distintos e ambos não são finitos (um vai para
e o outro para
), o limite
não existe como número real. Portanto o limite que define
não existe (não é um número finito).
Passo 5
Comentário adicional útil para a prova (opcional para entendimento): para
pode-se derivar
usando a regra da potência e obter
Note que
tende a
quando
e a
quando
, o que é consistente com o comportamento do quociente incremental em
. A função
é contínua em
(porque
), mas não é diferenciável em
.