1. (
  2. (a) Se g(x)=x^{2 / 3}, mostre que g^{\prime}(0) não existe

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada de g em 0 não existe, onde g é a função
g(x)=x^{2/3}.
Informações dadas:
  • A função é g(x)=x^{2/3}.
  • Queremos saber se g^{\prime}(0) existe (ou seja, se a derivada em x=0 existe).

Passo 2

Relembrando a definição fundamental de derivada num ponto: a derivada de g em 0 é o limite (se existir e for finito)
g^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}.
Essa expressão é a razão incremental de g em torno de 0. Para que g^{\prime}(0) exista, esse limite deve existir e ser um número real único; em particular, os limites laterais (quando h\to0^+ e h\to0^-) devem ser iguais e finitos.

Passo 3

Calcular a razão incremental para g em 0. Como g(0)=0^{2/3}=0, temos
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{h^{2/3}}{h}.
Simplificando potências, usando a regra h^{a}/h^{b}=h^{a-b}, obtemos
\frac{h^{2/3}}{h}=h^{2/3-1}=h^{-1/3}.
Portanto
\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=h^{-1/3}.

Passo 4

Analisar o limite de h^{-1/3} quando h\to0. Lembrando que h^{1/3} é a raiz cúbica de h, que preserva o sinal (a raiz cúbica de número negativo é negativa).
  • Para h\to0^+ (apenas valores positivos de h tendendo a zero), tem-se h^{1/3}\to0^+. Então h^{-1/3}=1/h^{1/3}\to+\infty.
  • Para h\to0^- (apenas valores negativos de h tendendo a zero), tem-se h^{1/3}\to0^-. Então h^{-1/3}=1/h^{1/3}\to-\infty.
Como os limites laterais são distintos e ambos não são finitos (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite
\lim_{h\to0}h^{-1/3}
não existe como número real. Portanto o limite que define g^{\prime}(0) não existe (não é um número finito).

Passo 5

Comentário adicional útil para a prova (opcional para entendimento): para x\neq0 pode-se derivar g usando a regra da potência e obter
g^{\prime}(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}\quad\text{para }x\neq0.
Note que \frac{2}{3}x^{-1/3} tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-, o que é consistente com o comportamento do quociente incremental em 0. A função g é contínua em 0 (porque \lim_{x\to0}x^{2/3}=0), mas não é diferenciável em 0.

Resposta

g^{\prime}(0) não existe.

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