Explico por que essa escolha funciona (didática rápida): \n
A equação da elipse em yz é (y-1)^{2}+2z^{2}=1. Se colocamos y-1=\cos t então (y-1)^{2}=\cos^{2}t. Para ter \cos^{2}t+2z^{2}=1 precisamos de 2z^{2}=\sin^{2}t, logo z=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t; escolhemos o sinal consistente com o parâmetro t. \n
Como x=2y, conhecendo y(t) obtemos x(t) imediatamente. \n
O parâmetro t varia em [0,2\pi) e descreve a elipse uma vez.
Passo 6
Agora descrevo duas projeções e dou pontos-chave para o esboço (você pode desenhar a partir desses pontos). \n
Projeção no plano xy: \n
Eliminar z colapsa a elipse sobre o plano xy. A partir da parametrização, a projeção é (x,y)=(2+2\cos t,\;1+\cos t). Note que x=2y sempre se mantém, logo a projeção é contida na reta \;x=2y. \n
Como \cos t\in[-1,1] temos y\in[0,2] e x\in[0,4]. Assim a projeção no xy é exatamente o segmento de reta que vai do ponto (0,0) (quando \cos t=-1) até (4,2) (quando \cos t=1). \n
Pontos para esboçar: (0,0) e (4,2); ligar como um segmento sobre a reta x=2y.
Projeção no plano xz: \n
A projeção é (x,z)=(2+2\cos t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t). Eliminando t usando \cos t=(x-2)/2 e \sin t=\sqrt{2}\,z e \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtém-se a equação
\frac{(x-2)^{2}}{4}+2z^{2}=1,
ou equivalentemente
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{1/2}=1.
Isto é uma elipse no plano xz, centrada em (x,z)=(2,0), com semi-eixos a_x=2 (direção x) e a_z=1/\sqrt{2} (direção z). \n
Pontos para esboçar: vértices horizontais (0,0) e (4,0) (quando z=0), e vértices verticais (2,\pm 1/\sqrt{2}).
Resposta
Parametrização: \mathbf{r}(t)=\bigl(2+2\cos t,\;1+\cos t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\bigr),\\ t\in[0,2\pi).\n
Projeção no plano xy: segmento de reta sobre x=2y entre (0,0) e (4,2).\n
Projeção no plano xz: elipse de equação \dfrac{(x-2)^{2}}{4}+2z^{2}=1, centrada em (2,0) com vértices (0,0),(4,0),(2,\pm 1/\sqrt{2}).