[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva C definida por
C:\left\{\begin{array}{l} x=y^{2}+2 z^{2} \\\\ 2 y-x=0 \end{array}\right.
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva C definida pelo sistema
C:\left\{\begin{array}{l} x=y^{2}+2 z^{2} \\\\ 2 y-x=0 \end{array}\right.
e também esboçar duas de suas projeções nos planos coordenados. \n
Informações dadas relevantes: \n
  • Duas equações que simultaneamente determinam C. \n
  • A curva é a interseção de uma superfície quadrática x=y^{2}+2z^{2} com um plano linear 2y-x=0. \n
    O que é pedido: \n
  • Uma parametrização da curva C (isto é, uma função \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) que percorra C). \n
  • Dois esboços (descrições geométricas) das projeções de C em planos coordenados (por exemplo, projeções nos planos xy e xz, ou yz e outro).

Passo 2

Eliminamos x usando a equação linear 2y-x=0. Daí
x=2y.
Substituindo em x=y^{2}+2z^{2} obtemos
2y = y^{2}+2z^{2}.
Reorganizando,
y^{2}-2y+2z^{2}=0.

Passo 3

Para identificar a curva no plano yz completamos o quadrado em y. Temos
y^{2}-2y+2z^{2}=(y-1)^{2}-1+2z^{2}=0,
portanto
(y-1)^{2}+2z^{2}=1.
Isto é a equação de uma elipse no plano yz, centrada em (y,z)=(1,0). Podemos escrever em forma padrão dividindo por 1:
\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{1/2}=1.
Daqui vemos os semi-eixos: no eixo y o semi-eixo vale a_y=1 e no eixo z o semi-eixo vale a_z=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para parametrizar uma elipse centrada em (1,0) com semi-eixos a_y=1 e a_z=1/\sqrt{2} usamos funções trigonométricas:
y-1=\cos t,\qquad z=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Assim
y(t)=1+\cos t,\qquad z(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t.
Usando x=2y obtemos
x(t)=2y(t)=2\bigl(1+\cos t\bigr)=2+2\cos t.
Portanto uma parametrização da curva C é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(2+2\cos t,\;1+\cos t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 5

Explico por que essa escolha funciona (didática rápida): \n
  • A equação da elipse em yz é (y-1)^{2}+2z^{2}=1. Se colocamos y-1=\cos t então (y-1)^{2}=\cos^{2}t. Para ter \cos^{2}t+2z^{2}=1 precisamos de 2z^{2}=\sin^{2}t, logo z=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sin t; escolhemos o sinal consistente com o parâmetro t. \n
  • Como x=2y, conhecendo y(t) obtemos x(t) imediatamente. \n
  • O parâmetro t varia em [0,2\pi) e descreve a elipse uma vez.

Passo 6

Agora descrevo duas projeções e dou pontos-chave para o esboço (você pode desenhar a partir desses pontos). \n
Projeção no plano xy: \n
  • Eliminar z colapsa a elipse sobre o plano xy. A partir da parametrização, a projeção é (x,y)=(2+2\cos t,\;1+\cos t). Note que x=2y sempre se mantém, logo a projeção é contida na reta \;x=2y. \n
  • Como \cos t\in[-1,1] temos y\in[0,2] e x\in[0,4]. Assim a projeção no xy é exatamente o segmento de reta que vai do ponto (0,0) (quando \cos t=-1) até (4,2) (quando \cos t=1). \n
    Pontos para esboçar: (0,0) e (4,2); ligar como um segmento sobre a reta x=2y.
Projeção no plano xz: \n
  • A projeção é (x,z)=(2+2\cos t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t). Eliminando t usando \cos t=(x-2)/2 e \sin t=\sqrt{2}\,z e \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 obtém-se a equação
\frac{(x-2)^{2}}{4}+2z^{2}=1,
ou equivalentemente
\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{1/2}=1.
  • Isto é uma elipse no plano xz, centrada em (x,z)=(2,0), com semi-eixos a_x=2 (direção x) e a_z=1/\sqrt{2} (direção z). \n
    Pontos para esboçar: vértices horizontais (0,0) e (4,0) (quando z=0), e vértices verticais (2,\pm 1/\sqrt{2}).

Resposta

Parametrização: \mathbf{r}(t)=\bigl(2+2\cos t,\;1+\cos t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin t\bigr),\\ t\in[0,2\pi).\n
Projeção no plano xy: segmento de reta sobre x=2y entre (0,0) e (4,2).\n
Projeção no plano xz: elipse de equação \dfrac{(x-2)^{2}}{4}+2z^{2}=1, centrada em (2,0) com vértices (0,0),(4,0),(2,\pm 1/\sqrt{2}).

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