Considere a função f(x, y, z)=2 x^{3} y^{2}+y^{2} z onde x=r \cdot s \cdot e^{t},
y=r^{3} e^{-t} e z=r \cos (t). Determine o valor de \frac{\partial u}{\partial s} quando r=2, s=-1 e t=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função f e as relações entre as variáveis e pede um derivada específica. Mais precisamente:
  • A função é \displaystyle f(x,y,z)=2x^{3}y^{2}+y^{2}z.
  • As variáveis x,y,z são dadas em termos de r,s,t por
x = r\cdot s \cdot e^{t},\qquad y = r^{3} e^{-t},\qquad z = r\cos(t).
  • A tarefa é determinar o valor de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} no ponto \displaystyle r=2,\; s=-1,\; t=0, onde u é a função obtida por substituição u(r,s,t)=f(x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)).

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis. A regra da cadeia (para derivada parcial em relação a s) diz o seguinte: se u=f(x,y,z) e x,y,z dependem de r,s,t, então
\frac{\partial u}{\partial s} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + f_{y}\,\frac{\partial y}{\partial s} + f_{z}\,\frac{\partial z}{\partial s}.
Aqui:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no triplo (x,y,z) correspondente ao ponto (r,s,t).
  • \frac{\partial x}{\partial s} é a derivada parcial de x em relação a s mantendo r,t fixos, e análogas interpretações para os outros termos.
    Intuitivamente, cada termo mede como u muda quando x,y,z mudam por variações em s.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z simbolicamente:
  • Para f_{x}: derivando \displaystyle f(x,y,z)=2x^{3}y^{2}+y^{2}z em relação a x, tratamos y e z como constantes. A derivada de 2x^{3}y^{2} em relação a x é 2\cdot 3x^{2}y^{2}=6x^{2}y^{2}. A segunda parcela não depende de x. Portanto
f_{x}=6x^{2}y^{2}.
  • Para f_{y}: derivando em relação a y, a derivada de 2x^{3}y^{2} é 2x^{3}\cdot 2y=4x^{3}y. A derivada de y^{2}z em relação a y é 2y z. Assim
f_{y}=4x^{3}y+2y z.
  • Para f_{z}: apenas y^{2}z depende de z, então
f_{z}=y^{2}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a s (mantendo r,t fixos), usando as fórmulas fornecidas:
  • Como x = r s e^{t}, derivando em relação a s obtemos
\frac{\partial x}{\partial s}=r e^{t}.
  • Como y = r^{3} e^{-t} não depende de s, temos
\frac{\partial y}{\partial s}=0.
  • Como z = r\cos(t) também não depende de s, temos
\frac{\partial z}{\partial s}=0.

Passo 5

Substituindo estes resultados na regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s} = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + f_{y}\cdot 0 + f_{z}\cdot 0 = f_{x}\,\frac{\partial x}{\partial s}.
Portanto basta calcular f_{x} e \frac{\partial x}{\partial s} no ponto dado e multiplicá-los.

Passo 6

Calculemos primeiro os valores de x,y,z no ponto \displaystyle r=2,\; s=-1,\; t=0:
x = r s e^{t} = 2\cdot(-1)\cdot e^{0} = -2,
y = r^{3} e^{-t} = 2^{3}\cdot e^{0} = 8,
z = r\cos(t) = 2\cos(0)=2.

Passo 7

Agora avaliamos f_{x} nesse ponto. Lembrando que \displaystyle f_{x}=6x^{2}y^{2},
x^{2}=(-2)^{2}=4,\qquad y^{2}=8^{2}=64,
x^{2}y^{2}=4\cdot 64=256,
f_{x}=6\cdot 256 = 1536.

Passo 8

Avaliamoa \displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} no ponto usando \displaystyle \frac{\partial x}{\partial s}=r e^{t}:
\frac{\partial x}{\partial s}\Big|_{(r=2,t=0)} = 2\cdot e^{0}=2.
Multiplicando:
\frac{\partial u}{\partial s} = f_{x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s} = 1536\cdot 2 = 3072.

Passo 9

Interpretação final rápida: como y e z não dependem de s, só a variação de x com s afeta u; por isso o resultado é simplesmente f_{x} vezes \partial x/\partial s no ponto indicado.

Resposta

\,3072\,

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