Considere a função f(x, y, z)=2 x^{3} y^{2}+y^{2} z onde x=r \cdot s \cdot e^{t}, y=r^{3} e^{-t} e z=r \cos (t). Determine o valor de \frac{\partial u}{\partial s} quando r=2, s=-1 e t=0.
Passo 1
O enunciado fornece a função f e as relações entre as variáveis e pede um derivada específica. Mais precisamente:
A função é \displaystyle f(x,y,z)=2x^{3}y^{2}+y^{2}z.
As variáveis x,y,z são dadas em termos de r,s,t por
x = r\cdot s \cdot e^{t},\qquad y = r^{3} e^{-t},\qquad z = r\cos(t).
A tarefa é determinar o valor de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} no ponto \displaystyle r=2,\; s=-1,\; t=0, onde u é a função obtida por substituição u(r,s,t)=f(x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)).
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis. A regra da cadeia (para derivada parcial em relação a s) diz o seguinte: se u=f(x,y,z) e x,y,z dependem de r,s,t, então
f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no triplo (x,y,z) correspondente ao ponto (r,s,t).
\frac{\partial x}{\partial s} é a derivada parcial de x em relação a s mantendo r,t fixos, e análogas interpretações para os outros termos.
Intuitivamente, cada termo mede como u muda quando x,y,z mudam por variações em s.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z simbolicamente:
Para f_{x}: derivando \displaystyle f(x,y,z)=2x^{3}y^{2}+y^{2}z em relação a x, tratamos y e z como constantes. A derivada de 2x^{3}y^{2} em relação a x é 2\cdot 3x^{2}y^{2}=6x^{2}y^{2}. A segunda parcela não depende de x. Portanto
f_{x}=6x^{2}y^{2}.
Para f_{y}: derivando em relação a y, a derivada de 2x^{3}y^{2} é 2x^{3}\cdot 2y=4x^{3}y. A derivada de y^{2}z em relação a y é 2y z. Assim
f_{y}=4x^{3}y+2y z.
Para f_{z}: apenas y^{2}z depende de z, então
f_{z}=y^{2}.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a s (mantendo r,t fixos), usando as fórmulas fornecidas:
Como x = r s e^{t}, derivando em relação a s obtemos
Interpretação final rápida: como y e z não dependem de s, só a variação de x com s afeta u; por isso o resultado é simplesmente f_{x} vezes \partial x/\partial s no ponto indicado.