Questão 7. Calcule a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
O que se pede: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Escolha do método (explicação do que vamos usar): temos uma função dada como quociente de duas funções, então vamos usar a regra do quociente. Além disso, o numerador é produto de
por
, então, para derivar o numerador, usaremos também a regra do produto. Vou explicar cada regra antes de aplicar.
Regra do produto (fórmula e significado): se
e
são funções, a derivada de
é
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Regra do quociente (fórmula e significado): se
, com
, então
onde
e
são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente. Essa fórmula vem de combinar produto e regra da cadeia; aqui basta lembrar que o numerador da derivada é “derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador”, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Derivar o numerador usando a regra do produto. Definimos
tomando
e
. As derivadas básicas que precisamos lembrar:
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
(que é comum em ambos os termos) obtemos uma forma mais simples:
Passo 4
Derivar o denominador. Temos
A derivada de
é
e a derivada de constante
é
, logo
Passo 5
Aplicar a regra do quociente substituindo
na fórmula. Lembrem-se da fórmula:
Substituindo:
Passo 6
Simplificar a expressão: fatoramos
no numerador, pois aparece em ambos os termos:
Agora expandimos o que está dentro do colchete para organizar os termos:
Subtraindo
:
Agrupando os termos com
e com
:
Observação útil:
. Assim a forma fica mais compacta:
Portanto o numerador simplificado é
, e a derivada final é