Questão 7. Calcule a derivada de
f(x)=\frac{e^{x} \cdot \sin x}{x^{2}+1} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{e^{x}\cdot \sin x}{x^{2}+1}.
Informações dadas:
\text{numerador }N(x)=e^{x}\cdot \sin x,\qquad \text{denominador }D(x)=x^{2}+1.
O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Escolha do método (explicação do que vamos usar): temos uma função dada como quociente de duas funções, então vamos usar a regra do quociente. Além disso, o numerador é produto de e^{x} por \sin x, então, para derivar o numerador, usaremos também a regra do produto. Vou explicar cada regra antes de aplicar.
Regra do produto (fórmula e significado): se \,u(x) e \,v(x) são funções, a derivada de \,u(x)v(x) é
(u v)' = u'v + uv',
onde u' é a derivada de u e v' é a derivada de v.
Regra do quociente (fórmula e significado): se \,f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}, com D(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}},
onde N' e D' são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente. Essa fórmula vem de combinar produto e regra da cadeia; aqui basta lembrar que o numerador da derivada é “derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador”, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Derivar o numerador usando a regra do produto. Definimos
N(x)=e^{x}\cdot \sin x,
tomando u(x)=e^{x} e v(x)=\sin x. As derivadas básicas que precisamos lembrar:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
N'(x)=u'v+uv'=(e^{x})\sin x + e^{x}(\cos x).
Fatorando e^{x} (que é comum em ambos os termos) obtemos uma forma mais simples:
N'(x)=e^{x}(\sin x + \cos x).

Passo 4

Derivar o denominador. Temos
D(x)=x^{2}+1.
A derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante 1 é 0, logo
D'(x)=2x.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente substituindo N,N',D,D' na fórmula. Lembrem-se da fórmula:
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{e^{x}(\sin x + \cos x)\,(x^{2}+1) - e^{x}\sin x\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Simplificar a expressão: fatoramos e^{x} no numerador, pois aparece em ambos os termos:
f'(x)=\frac{e^{x}\Big[(\sin x + \cos x)(x^{2}+1) - 2x\sin x\Big]}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora expandimos o que está dentro do colchete para organizar os termos:
(\sin x + \cos x)(x^{2}+1)=x^{2}\sin x + \sin x + x^{2}\cos x + \cos x.
Subtraindo 2x\sin x:
x^{2}\sin x + \sin x + x^{2}\cos x + \cos x - 2x\sin x.
Agrupando os termos com \sin x e com \cos x:
\sin x\,(x^{2}+1-2x) + \cos x\,(x^{2}+1).
Observação útil: x^{2}+1-2x = x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}. Assim a forma fica mais compacta:
\sin x\,(x-1)^{2} + \cos x\,(x^{2}+1).
Portanto o numerador simplificado é e^{x}\big[ \sin x\,(x-1)^{2} + \cos x\,(x^{2}+1)\big], e a derivada final é
f'(x)=\frac{e^{x}\big[\sin x\,(x-1)^{2} + \cos x\,(x^{2}+1)\big]}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}\big[\sin x\,(x-1)^{2} + \cos x\,(x^{2}+1)\big]}{(x^{2}+1)^{2}}

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