Sejam A, B, C e D pontos não coplanares e \mathcal{P} o paralelepípedo que tem os segmentos A B, A C e A D como arestas adjacentes. Descreva detalhadamente uma interpretação geométrica do produto misto.
Passo 1
O enunciado dá a definição do produto misto entre três vetores como
Também diz que A,B,C,D são pontos não coplanares e que \mathcal{P} é o paralelepípedo cujas arestas adjacentes saindo de A são os segmentos AB,AC,AD.
O que é pedido: descrever detalhadamente a interpretação geométrica do produto misto para estes vetores (ou seja, para \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}).
Informações relevantes fornecidas:
Os vetores que formam as arestas do paralelepípedo são \vec{u}=\vec{AB}, \vec{v}=\vec{AC} e \vec{w}=\vec{AD}.
Os pontos não são coplanares, então espera-se um paralelepípedo com volume não nulo (em geral).
A definição do produto misto está dada em termos de produto vetorial seguido de produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vou ancorar as notações para ficar claro na prova: \vec{u}=\vec{AB} é o vetor que vai de A a B, \vec{v}=\vec{AC} vai de A a C e \vec{w}=\vec{AD} vai de A a D.
Esses são exatamente os três vetores que geram o paralelepípedo \mathcal{P}.
Passo 3
Geometria do produto vetorial: o vetor \vec{u}\times\vec{v} tem duas propriedades geométricas essenciais:
É ortogonal ao plano determinado por \vec{u} e \vec{v}.
Seu módulo |\vec{u}\times\vec{v}| é a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.
Explicando a fórmula do módulo: se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, então
Aqui |\vec{u}| significa o comprimento (norma) de \vec{u}, |\vec{v}| o comprimento de \vec{v}, e \sin\theta é o seno do ângulo entre eles. O produto |\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta é exatamente a área do paralelogramo base do paralelepípedo.
Passo 4
Geometria do produto escalar: quando tomamos o produto escalar de \vec{u}\times\vec{v} com \vec{w} obtemos
onde \varphi é o ângulo entre o vetor normal \vec{u}\times\vec{v} e o vetor \vec{w}. O fator |\vec{w}|\cos\varphi é a projeção de \vec{w} ao longo da direção normal — geometricamente, é a altura h do paralelepípedo sobre a base paralelogramo.
Portanto |\vec{w}|\cos\varphi = h (altura relativa à base formada por \vec{u} e \vec{v}).
Mas |\vec{u}\times\vec{v}| é a área da base e h é a altura, logo o produto é exatamente a área da base vezes a altura, isto é, o volume (com sinal) do paralelepípedo \mathcal{P} formado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Concisamente: [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] é o volume algébrico (orientado) do paralelepípedo com arestas \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Passo 6
Interpretação do sinal (orientação): o valor [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] pode ser positivo ou negativo. O sinal indica a orientação da tripla (\vec{u},\vec{v},\vec{w}):
Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0, então \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} forma uma base direta (orientação compatível com a regra da mão direita).
Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0, a base é inversa (orientação trocada).
Na prova: quando precisar do volume geométrico (positivo), sempre use |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|.
Passo 7
Relação com determinante e cálculo prático: se separam as componentes dos vetores em coordenadas (por exemplo em uma base ortonormal), então
onde u_i,v_i,w_i são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. O determinante é exatamente o volume orientado do paralelepípedo gerado por essas colunas. Na prova, é a forma mais direta de calcular numericamente o produto misto.
Passo 8
Consequências úteis para a prova (decore/pratique):
Se [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0 então os vetores são coplanares (o paralelepípedo tem volume zero).
O volume do tetraedro com vértices A,B,C,D (onde os vetores saem de A) é
Interpretando: o paralelepípedo é o cubo unitário e seu volume é 1. Se fosse (2,0,0),(0,3,0),(0,0,4) obtém-se volume 2\cdot3\cdot4=24, que aparece também no determinante diagonal.
Resposta
O produto misto [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] é o volume algébrico (orientado) do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}; em particular |[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]| é o volume geométrico do paralelepípedo, o sinal indica a orientação da base \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}, e o volume do tetraedro ABCD é \dfrac{1}{6}\,|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]|.