- [2.5 pts] Prove que toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal (ou seja: para cada ponto da parábola, o ponto obtido por reflexão em relação à reta focal também pertence à parábola).
Informações dadas pelo enunciado: apenas a afirmação que deve ser demonstrada. Não há valores numéricos nem figura fornecida.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (sem resolver ainda; aqui apenas explico conceitos que vou precisar).
- Definição de parábola (forma canônica que usarei): a parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Em palavras: um ponto
pertence à parábola se e somente se
- Reta focal (ou eixo da parábola): é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Essa reta é a candidata natural à qual se quer provar a simetria.
- Observação útil: simetria em relação a uma reta significa que, se
está na curva, então a reflexão de nessa reta também está na curva.
Vou trabalhar com coordenadas cartesianas para escrever a condição de definição de forma algébrica e, depois, mostrar diretamente a reflexão. É legítimo escolher um sistema de coordenadas conveniente porque uma translação e rotação rígidas preservam distâncias e, portanto, preservam a propriedade definidora da parábola; assim, provar simetria no caso colocado em posição canônica basta para o caso geral.
Passo 3
Escolha canônica de coordenadas (colocação padrão).
- Coloco o foco no ponto
com . - Coloco a diretriz na reta horizontal
.
Com essa escolha, a reta focal (eixo) é a reta vertical— ela passa pelo foco e é perpendicular à diretriz . Essa escolha é apenas uma posição padrão; qualquer outra parábola pode ser obtida por translação/rotação.
Passo 4
Escrever algebraicamente a condição de ponto da parábola.
Se for um ponto da parábola (na posição escolhida), a definição exige
Se
Explico as duas distâncias:
- Distância de
ao foco é a distância euclidiana
- Distância de
à diretriz (reta horizontal) é a distância vertical absoluta entre e , ou seja
Para os pontos da parábola, que ficam acima da diretriz nesta posição canônica, temos
e portanto podemos tirar o valor absoluto:
Passo 5
Simplificar a equação para obter a forma explícita da parábola.
Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: isso é permitido aqui porque o lado direito é não negativo),
Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: isso é permitido aqui porque o lado direito é não negativo),
Agora expandir os quadrados:
Cancelar
e
em ambos os lados:
Isolar
:
Portanto, na posição canônica adotada, a parábola tem equação
. Observe que essa equação depende de
, ou seja, é uma função de
e, consequentemente, é par em
.
Passo 6
Mostrar a simetria em relação à reta focal
.
- Se
pertence à parábola, então . - A reflexão de
na reta é (mesma ordenada , abscissa com sinal trocado). - Aplicando a equação da parábola a
, obtemos
ou seja,
satisfaz exatamente a mesma equação, logo
também pertence à parábola.
Assim, para todo ponto da parábola, sua reflexão
em
pertence à parábola — isto é precisamente a definição de simetria em relação à reta
, que é a reta focal na nossa posição canônica.
Assim, para todo ponto
Passo 7
Passo do canônico para o geral (por que isso vale para qualquer parábola).
Qualquer parábola (definida por foco e diretriz quaisquer) pode ser levada por uma isometria (translação + rotação) à posição canônica que escolhemos: o foco para e a diretriz para
. Isometrias preservam distâncias e reflexões; portanto, se a parábola na posição canônica é simétrica em relação à reta focal
, a parábola original também é simétrica em relação à sua reta focal (a imagem inversa da reta
pela isometria é precisamente a reta focal original). Assim a propriedade é válida para toda parábola, sem depender de posição ou orientação.
Qualquer parábola (definida por foco e diretriz quaisquer) pode ser levada por uma isometria (translação + rotação) à posição canônica que escolhemos: o foco para
Passo 8
Conclusão final e palavra de incentivo.
Juntando os passos: qualquer ponto de uma parábola tem sua reflexão em relação à reta focal que também pertence à parábola (mostrado no caso canônico), e a propriedade é preservada por isometrias, logo toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal. Boa! Agora já tens uma prova clara e um método que dá para reproduzir rápido na prova: colocar o foco numa coordenada simples, escrever a condição distância = distância, obter uma equação em
e ver que trocar
por
deixa tudo igual — pá-pum, simetria demonstrada.
Juntando os passos: qualquer ponto
Resposta
Toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal.