1. [2.5 pts] Prove que toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal (ou seja: para cada ponto da parábola, o ponto obtido por reflexão em relação à reta focal também pertence à parábola).
Informações dadas pelo enunciado: apenas a afirmação que deve ser demonstrada. Não há valores numéricos nem figura fornecida.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (sem resolver ainda; aqui apenas explico conceitos que vou precisar).
  • Definição de parábola (forma canônica que usarei): a parábola é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. Em palavras: um ponto P pertence à parábola se e somente se
\text{dist}(P,\text{foco})=\text{dist}(P,\text{diretriz}).
  • Reta focal (ou eixo da parábola): é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Essa reta é a candidata natural à qual se quer provar a simetria.
  • Observação útil: simetria em relação a uma reta significa que, se P está na curva, então a reflexão de P nessa reta também está na curva.
Vou trabalhar com coordenadas cartesianas para escrever a condição de definição de forma algébrica e, depois, mostrar diretamente a reflexão. É legítimo escolher um sistema de coordenadas conveniente porque uma translação e rotação rígidas preservam distâncias e, portanto, preservam a propriedade definidora da parábola; assim, provar simetria no caso colocado em posição canônica basta para o caso geral.

Passo 3

Escolha canônica de coordenadas (colocação padrão).
  • Coloco o foco no ponto (0,p) com p>0.
  • Coloco a diretriz na reta horizontal y=-p.
    Com essa escolha, a reta focal (eixo) é a reta vertical x=0 — ela passa pelo foco (0,p) e é perpendicular à diretriz y=-p. Essa escolha é apenas uma posição padrão; qualquer outra parábola pode ser obtida por translação/rotação.

Passo 4

Escrever algebraicamente a condição de ponto da parábola.
Se P=(x,y) for um ponto da parábola (na posição escolhida), a definição exige
\text{dist}\big((x,y),(0,p)\big)=\text{dist}\big((x,y),\;y=-p\big).
Explico as duas distâncias:
  • Distância de P=(x,y) ao foco (0,p) é a distância euclidiana
\text{dist}\big((x,y),(0,p)\big)=\sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}=\sqrt{x^2+(y-p)^2}.
  • Distância de P=(x,y) à diretriz y=-p (reta horizontal) é a distância vertical absoluta entre y e -p, ou seja
\text{dist}\big((x,y),\;y=-p\big)=|y-(-p)|=|y+p|.
Para os pontos da parábola, que ficam acima da diretriz nesta posição canônica, temos y+p\ge 0 e portanto podemos tirar o valor absoluto:
\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p.

Passo 5

Simplificar a equação para obter a forma explícita da parábola.
Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: isso é permitido aqui porque o lado direito é não negativo),
x^2+(y-p)^2=(y+p)^2.
Agora expandir os quadrados:
x^2 + y^2-2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2.
Cancelar y^2 e p^2 em ambos os lados:
x^2 - 2py = 2py.
Isolar y:
x^2 = 4py \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x^2}{4p}.
Portanto, na posição canônica adotada, a parábola tem equação \displaystyle y=\frac{x^2}{4p}. Observe que essa equação depende de x^2, ou seja, é uma função de x^2 e, consequentemente, é par em x.

Passo 6

Mostrar a simetria em relação à reta focal x=0.
  • Se P=(x,y) pertence à parábola, então y=\dfrac{x^2}{4p}.
  • A reflexão de P na reta x=0 é P' = (-x,y) (mesma ordenada y, abscissa com sinal trocado).
  • Aplicando a equação da parábola a P', obtemos
y = \frac{(-x)^2}{4p} = \frac{x^2}{4p},
ou seja, P' satisfaz exatamente a mesma equação, logo P' também pertence à parábola.
Assim, para todo ponto P da parábola, sua reflexão P' em x=0 pertence à parábola — isto é precisamente a definição de simetria em relação à reta x=0, que é a reta focal na nossa posição canônica.

Passo 7

Passo do canônico para o geral (por que isso vale para qualquer parábola).
Qualquer parábola (definida por foco e diretriz quaisquer) pode ser levada por uma isometria (translação + rotação) à posição canônica que escolhemos: o foco para (0,p) e a diretriz para y=-p. Isometrias preservam distâncias e reflexões; portanto, se a parábola na posição canônica é simétrica em relação à reta focal x=0, a parábola original também é simétrica em relação à sua reta focal (a imagem inversa da reta x=0 pela isometria é precisamente a reta focal original). Assim a propriedade é válida para toda parábola, sem depender de posição ou orientação.

Passo 8

Conclusão final e palavra de incentivo.
Juntando os passos: qualquer ponto P de uma parábola tem sua reflexão em relação à reta focal que também pertence à parábola (mostrado no caso canônico), e a propriedade é preservada por isometrias, logo toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal. Boa! Agora já tens uma prova clara e um método que dá para reproduzir rápido na prova: colocar o foco numa coordenada simples, escrever a condição distância = distância, obter uma equação em x^2 e ver que trocar x por -x deixa tudo igual — pá-pum, simetria demonstrada.

Resposta

Toda parábola é simétrica em relação à sua reta focal.

Exercícios relacionados