Considere as retas \left\{\begin{array}{l}r:(x, y, z)=(1,1,1)+t(1,1,1) \\\ s:(x, y, z)=(1,2,0)+t(2,3, m)\end{array}\right.
Verifique se existe m \in \mathbb{R} para que as retas r e s sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede para verificar se existe m\in\mathbb{R} tal que as retas r e s sejam ortogonais. Informações fornecidas:
Pontos iniciais (um ponto de cada reta):P_r=(1,1,1),\qquad P_s=(1,2,0).
O que é pedido: decidir se existe algum m\in\mathbb{R} para o qual as retas r e s sejam ortogonais (ou seja, formem um ângulo reto).
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): duas retas em \mathbb{R}^3 são ortogonais no sentido geométrico clássico se se intersectam em um ponto e o ângulo entre elas é 90^\circ. Para isso é necessário (e, junto com a interseção, suficiente) que:
os vetores diretores sejam perpendiculares, e
as retas se intersectem.
Como testar perpendicularidade de vetores: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Dois vetores são perpendiculares exatamente quando \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0.
Aplicando ao nosso caso: impondo \mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s=0,
(1,1,1)\cdot(2,3,m)=1\cdot2+1\cdot3+1\cdot m = 2+3+m.
Logo a condição é
2+3+m=0.
Resolvendo:
m=-5.
Interpretação: se queremos que os vetores diretores sejam perpendiculares, devemos escolher m=-5. Mas atenção: isso só garante que as direções sejam perpendiculares; falta verificar se as retas se intersectam quando m=-5.
Passo 3
Agora vamos checar interseção com m=-5. Escrevemos as parametrizações com parâmetros diferentes para cada reta: em r usamos t e em s usamos u. Igualando as coordenadas, queremos encontrar t,u tais que
(1,1,1)+t(1,1,1)=(1,2,0)+u(2,3,-5).
Isto dá o sistema de três equações (uma por coordenada):
1+t = 1+2u, \tag{1}
1+t = 2+3u, \tag{2}
1+t = 0-5u. \tag{3}
Passo 4
Resolvendo as primeiras duas equações para t e u:
Da (1): t=2u.
Da (2): t=1+3u.
Igualando as duas expressões para t:
Verificação na terceira equação (z): com t=-2 a esquerda de (3) é
1+t=1-2=-1.
A direita de (3) com u=-1 e m=-5 é
-5u = -5(-1)=5.
Logo a equação (3) dá -1=5, que é uma contradição. Portanto não existem t e u simultâneos que satisfaçam as três coordenadas: as retas não se intersectam quando m=-5.
Passo 6
Conclusão lógica: o único valor de m que torna os vetores diretores perpendiculares é m=-5, mas nesse caso as retas não se intersectam, logo não são ortogonais no sentido geométrico (ou seja, não se cruzam formando ângulo reto). Para qualquer outro m os vetores diretores nem sequer são perpendiculares. Assim, não existe m\in\mathbb{R} que faça as retas r e s serem ortogonais (intersectantes e formando 90^\circ).