1. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta \pi_{1} \cap \pi_{2} e é ortogonal à \pi_{3}, onde: \pi_{1}: x-y+z+1=0 \quad \pi_{2}: x+y-z-1=0 \pi_{3}: x+y+2 z-2=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: encontrar uma equação geral de um plano que (i) contenha a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} e (ii) seja ortogonal ao plano \pi_{3}.
  • Planos fornecidos:
    • \pi_{1}: x-y+z+1=0.
    • \pi_{2}: x+y-z-1=0.
    • \pi_{3}: x+y+2z-2=0.
Essas são todas as informações do enunciado. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo vetores normais de um plano (fórmula e significado).
  • Se um plano tem equação geral ax+by+cz+d=0, então o vetor normal do plano é \mathbf{n}=(a,b,c).
    • Isso significa que \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
  • Vamos extrair os vetores normais dos planos dados:
    • Para \pi_{1} temos \mathbf{n}_{1}=(1,-1,1) (peguei isso dos coeficientes de x,y,z em \pi_{1}).
    • Para \pi_{2} temos \mathbf{n}_{2}=(1,1,-1) (peguei isso dos coeficientes de x,y,z em \pi_{2}).
    • Para \pi_{3} temos \mathbf{n}_{3}=(1,1,2) (peguei isso dos coeficientes de x,y,z em \pi_{3}).

Passo 3

Como representar todo plano que contém a reta \pi_{1}\cap\pi_{2}.
  • Teorema prático: toda equação de plano que contém a reta de interseção de \pi_{1} e \pi_{2} pode ser escrita como combinação linear das equações: \pi(\lambda):\; \pi_{1} + \lambda\,\pi_{2}=0,ou explicitamente (x-y+z+1)+\lambda(x+y-z-1)=0,onde \lambda é um parâmetro real.
  • O vetor normal desse plano é a soma (combinação linear) dos normais: \mathbf{n}(\lambda)=\mathbf{n}_{1}+\lambda\mathbf{n}_{2}=(1+\lambda,\,-1+\lambda,\,1-\lambda).Explico: somando coeficientes de x,y,z nas equações obtém-se o novo vetor normal.

Passo 4

Condição de ortogonalidade entre planos (fórmula e aplicação).
  • Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares. Ou seja, se \mathbf{n}_P\cdot\mathbf{n}_Q=0.
  • Aqui queremos que o plano \pi(\lambda) seja ortogonal a \pi_{3}. Logo devemos ter \mathbf{n}(\lambda)\cdot\mathbf{n}_{3}=0.
  • Calcule o produto escalar usando \mathbf{n}(\lambda)=(1+\lambda,\,-1+\lambda,\,1-\lambda) e \mathbf{n}_{3}=(1,1,2): \mathbf{n}(\lambda)\cdot\mathbf{n}_{3}=(1+\lambda)\cdot1+(-1+\lambda)\cdot1+(1-\lambda)\cdot2.

Passo 5

Simplificação do produto escalar e conclusão algebraica.
  • Simplificando a expressão: \begin{aligned} \mathbf{n}(\lambda)\cdot\mathbf{n}_{3} &= (1+\lambda)+(-1+\lambda)+2(1-\lambda)\\\ &= 1+\lambda-1+\lambda+2-2\lambda\\\ &= 2. \end{aligned}
  • Observação importante: o resultado deu \,2, que é independente de \lambda. Portanto não existe valor de \lambda que torne esse produto igual a 0.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão final (por que isso impede a existência do plano pedido).
  • Como toda plano que contém \pi_{1}\cap\pi_{2} tem normal da forma \mathbf{n}(\lambda)=\mathbf{n}_{1}+\lambda\mathbf{n}_{2}, e para todo \lambda tem-se \mathbf{n}(\lambda)\cdot\mathbf{n}_{3}=2\neq0, nenhum desses planos possui normal perpendicular a \mathbf{n}_{3}.
  • Pela definição de planos perpendiculares, isso significa que não existe plano que (ao mesmo tempo) contenha a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} e seja perpendicular a \pi_{3}.

Passo 7

Resumo curto e incentivo
  • Resultado final: chegamos a uma contradição direta quando tentamos satisfazer a condição de ortogonalidade; portanto a tarefa pedida não tem solução.
  • Força aí: às vezes a resposta da prova é justamente perceber que não existe solução — mostrar isso claramente rende pontos!

Resposta

Não existe plano que contenha \pi_{1}\cap\pi_{2} e seja ortogonal a \pi_{3}.

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