- Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta
e é ortogonal à
, onde:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: encontrar uma equação geral de um plano que (i) contenha a reta
e (ii) seja ortogonal ao plano . - Planos fornecidos:
-
. -
. -
.
-
Essas são todas as informações do enunciado. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo vetores normais de um plano (fórmula e significado).
- Se um plano tem equação geral
, então o vetor normal do plano é . - Isso significa que
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
- Isso significa que
- Vamos extrair os vetores normais dos planos dados:
- Para
temos (peguei isso dos coeficientes de em ). - Para
temos (peguei isso dos coeficientes de em ). - Para
temos (peguei isso dos coeficientes de em ).
- Para
Passo 3
Como representar todo plano que contém a reta
.
- Teorema prático: toda equação de plano que contém a reta de interseção de
e pode ser escrita como combinação linear das equações: ou explicitamente onde é um parâmetro real. - O vetor normal desse plano é a soma (combinação linear) dos normais:
Explico: somando coeficientes de nas equações obtém-se o novo vetor normal.
Passo 4
Condição de ortogonalidade entre planos (fórmula e aplicação).
- Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares. Ou seja, se
. - Aqui queremos que o plano
seja ortogonal a . Logo devemos ter - Calcule o produto escalar usando
e :
Passo 5
Simplificação do produto escalar e conclusão algebraica.
- Simplificando a expressão:
- Observação importante: o resultado deu
, que é independente de . Portanto não existe valor de que torne esse produto igual a .
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão final (por que isso impede a existência do plano pedido).
- Como toda plano que contém
tem normal da forma , e para todo tem-se , nenhum desses planos possui normal perpendicular a . - Pela definição de planos perpendiculares, isso significa que não existe plano que (ao mesmo tempo) contenha a reta
e seja perpendicular a .
Passo 7
Resumo curto e incentivo
- Resultado final: chegamos a uma contradição direta quando tentamos satisfazer a condição de ortogonalidade; portanto a tarefa pedida não tem solução.
- Força aí: às vezes a resposta da prova é justamente perceber que não existe solução — mostrar isso claramente rende pontos!
Resposta
Não existe plano que contenha
e seja ortogonal a
.