[2,0 pts.] 2) Seja
a região interna à
e externa à
. Esboce a região
no plano
e calcule o valor médio da função
em
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede duas coisas:
- Esboçar a região
que é interna à curva e externa à curva . - Calcular o valor médio da função
em .
Informações relevantes fornecidas:
- Curvas em polares:
e . - Função a ser média:
. - A região
consiste dos pontos que satisfazem simultaneamente
Nada mais foi fornecido; a resolução seguirá a partir dessas informações.
Passo 2
Interpretação geométrica e condições de existência da região.
Primeiro algumas observações sobre as curvas (para ajudar no esboço):
- A curva
é uma circunferência no plano cartesiano. Transformando para : implica que reescrevendo dá Ou seja, é a circunferência centrada em de raio . - A curva
é uma curva do tipo (um limacon sem laço porque ); para a nossa análise não precisamos converter totalmente para cartesiano, basta trabalhar em polares.
Para que exista ponto
tal que
é necessário que
Isso dá, ao rearranjar,
As soluções para
correspondem ao arco angular
Portanto a região
existe apenas para esses
; para cada
nesse intervalo o
varia entre
Passo 3
Descrição do esboço de
(como desenhar mentalmente ou à mão).
- As duas curvas se interceptam quando
, isto é quando . Isso ocorre em e . Nesses dois ângulos os dois raios coincidem (região degenerada). - Para ângulos entre
e (quadrante inferior-direito passando pelo eixo negativo de ), temos e e , então é uma “faixa” radial entre as duas curvas naquele arco angular de largura angular . - Concretamente: a pequena circunferência
(centro , raio ) fica mais externa no pedaço considerado, e a curva fica mais interna no mesmo pedaço; a região é o conjunto entre elas, situado no semi-arco inferior (entre e ).
(Esses pontos bastam para um esboço à mão: desenhar os dois ramos e sombrear a faixa radial entre eles para
.)
Passo 4
Fórmula do valor médio e mudança para coordenadas polares — explicação didática.
O valor médio de
em
é
Em coordenadas polares usamos as transformações padrão:
-
, . - O elemento de área é
. - A função
depende só de : (aqui é crucial observar que ).
Assim o integrando fica
Isto simplifica muito: a integral do numerador reduz a integrar
em termos de
e
:
A área de
em coordenadas polares é (fórmula padrão)
Passo 5
Cálculo do numerador (integral de
sobre
) passo a passo.
Calculemos
Integramos termo a termo:
Sabendo
e
, obtemos
O outro termo é
Somando,
Passo 6
Cálculo da área
passo a passo.
Partindo da expressão
expandimos o integrando:
Logo
Calculando os termos:
e já usamos antes
, então
Portanto
Passo 7
Cálculo do valor médio finalmente.
O valor médio é
Cancelando o fator comum
no numerador e denominador obtemos