[2,0 pts.] 2) Seja D a região interna à r=-\operatorname{sen} \theta e externa à r=\sqrt{2}+\operatorname{sen} \theta. Esboce a região D no plano x y e calcule o valor médio da função f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} em D.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede duas coisas:
  • Esboçar a região D que é interna à curva r=-\operatorname{sen}\theta e externa à curva r=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta.
  • Calcular o valor médio da função f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} em D.
Informações relevantes fornecidas:
  • Curvas em polares: r=-\operatorname{sen}\theta e r=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta.
  • Função a ser média: f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A região D consiste dos pontos que satisfazem simultaneamente r \le -\operatorname{sen}\theta\quad\text{e}\quad r \ge \sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta.
Nada mais foi fornecido; a resolução seguirá a partir dessas informações.

Passo 2

Interpretação geométrica e condições de existência da região.
Primeiro algumas observações sobre as curvas (para ajudar no esboço):
  • A curva r=-\operatorname{sen}\theta é uma circunferência no plano cartesiano. Transformando para x,y: r=-\operatorname{sen}\theta implica r = -\frac{y}{r}\quad\Rightarrow\quad r^{2}=-y\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+y=0,que reescrevendo dá x^{2}+\left(y+\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.Ou seja, é a circunferência centrada em (0,-\tfrac{1}{2}) de raio \tfrac{1}{2}.
  • A curva r=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta é uma curva do tipo r=a+b\operatorname{sen}\theta (um limacon sem laço porque a>b); para a nossa análise não precisamos converter totalmente para cartesiano, basta trabalhar em polares.
Para que exista ponto r tal que \sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta \le r \le -\operatorname{sen}\theta é necessário que
\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta \le -\operatorname{sen}\theta.
Isso dá, ao rearranjar,
2\operatorname{sen}\theta \le -\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}\theta \le -\frac{1}{\sqrt{2}}.
As soluções para \operatorname{sen}\theta \le -\tfrac{1}{\sqrt{2}} correspondem ao arco angular
\theta \in \left[\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}\right].
Portanto a região D existe apenas para esses \theta; para cada \theta nesse intervalo o r varia entre
r_{\text{in}}(\theta)=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta \qquad\text{e}\qquad r_{\text{out}}(\theta)=-\operatorname{sen}\theta.

Passo 3

Descrição do esboço de D (como desenhar mentalmente ou à mão).
  • As duas curvas se interceptam quando \sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta=-\operatorname{sen}\theta, isto é quando \operatorname{sen}\theta=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Isso ocorre em \theta=\tfrac{5\pi}{4} e \theta=\tfrac{7\pi}{4}. Nesses dois ângulos os dois raios coincidem (região degenerada).
  • Para ângulos entre \tfrac{5\pi}{4} e \tfrac{7\pi}{4} (quadrante inferior-direito passando pelo eixo negativo de y), temos r_{\text{in}}>0 e r_{\text{out}}>0 e r_{\text{in}}<r_{\text{out}}, então D é uma “faixa” radial entre as duas curvas naquele arco angular de largura angular \tfrac{\pi}{2}.
  • Concretamente: a pequena circunferência r=-\operatorname{sen}\theta (centro (0,-\tfrac12), raio \tfrac12) fica mais externa no pedaço considerado, e a curva r=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta fica mais interna no mesmo pedaço; a região D é o conjunto entre elas, situado no semi-arco inferior (entre 225^\circ e 315^\circ).
(Esses pontos bastam para um esboço à mão: desenhar os dois ramos e sombrear a faixa radial entre eles para \theta\in[\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}].)

Passo 4

Fórmula do valor médio e mudança para coordenadas polares — explicação didática.
O valor médio de f em D é
\text{média}=\frac{1}{\operatorname{Area}(D)}\iint_{D} f(x,y)\,dA.é
Em coordenadas polares usamos as transformações padrão:
  • x=r\cos\theta, y=r\operatorname{sen}\theta.
  • O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.
  • A função f depende só de r: f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{1}{r} (aqui é crucial observar que \sqrt{x^2+y^2}=r).
Assim o integrando fica
f\,dA=\frac{1}{r}\cdot r\,dr\,d\theta = dr\,d\theta.
Isto simplifica muito: a integral do numerador reduz a integrar 1 em termos de r e \theta:
\iint_{D} f\,dA=\int_{\theta=\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\int_{r=\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta}^{r=-\operatorname{sen}\theta} dr\,d\theta = \int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\bigl(-\operatorname{sen}\theta-(\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta)\bigr)\,d\theta.
A área de D em coordenadas polares é (fórmula padrão)
\operatorname{Area}(D)=\iint_{D} dA = \int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\int_{\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta}^{-\operatorname{sen}\theta} r\,dr\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\bigl( (-\operatorname{sen}\theta)^{2}-(\sqrt{2}+\operatorname{sen}\theta)^{2}\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Cálculo do numerador (integral de f sobre D) passo a passo.
Calculemos
N:=\iint_{D} f\,dA = \int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}} \bigl(-2\operatorname{sen}\theta-\sqrt{2}\bigr)\,d\theta.
Integramos termo a termo:
\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}} -2\operatorname{sen}\theta\,d\theta = 2\bigl[\cos\theta\bigr]_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}} = 2\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{4}-\cos\tfrac{5\pi}{4}\bigr).
Sabendo \cos\tfrac{7\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
2\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})\bigr)=2\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
O outro termo é
\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}} -\sqrt{2}\,d\theta = -\sqrt{2}\left(\tfrac{7\pi}{4}-\tfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cdot\tfrac{\pi}{2} = -\frac{\pi\sqrt{2}}{2}.
Somando,
N = 2\sqrt{2} - \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\!\left(2-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(4-\pi).

Passo 6

Cálculo da área \operatorname{Area}(D) passo a passo.
Partindo da expressão
A:=\operatorname{Area}(D)=\frac{1}{2}\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\bigl(\sin^{2}\theta - (\sqrt{2}+\sin\theta)^{2}\bigr)\,d\theta,
expandimos o integrando:
\sin^{2}\theta - (\sqrt{2}+\sin\theta)^{2} = \sin^{2}\theta -\bigl(2+2\sqrt{2}\sin\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = -2 -2\sqrt{2}\sin\theta.
Logo
A=\frac{1}{2}\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\bigl(-2 -2\sqrt{2}\sin\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\Bigl[ -2(\tfrac{7\pi}{4}-\tfrac{5\pi}{4}) + 2\sqrt{2}\bigl(\cos\theta\bigr)_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{7\pi}{4}}\Bigr].
Calculando os termos:
-2(\tfrac{7\pi}{4}-\tfrac{5\pi}{4}) = -2\cdot\tfrac{\pi}{2} = -\pi,
e já usamos antes \cos\tfrac{7\pi}{4}-\cos\tfrac{5\pi}{4}=\sqrt{2}, então
2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{4}-\cos\tfrac{5\pi}{4}\bigr) = 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4.
Portanto
A=\frac{1}{2}\bigl(-\pi + 4\bigr) = \frac{4-\pi}{2}.

Passo 7

Cálculo do valor médio finalmente.
O valor médio é
\text{média}=\frac{N}{A} = \frac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(4-\pi)}{\dfrac{4-\pi}{2}}.é
Cancelando o fator comum \dfrac{4-\pi}{2} no numerador e denominador obtemos
\text{média}=\sqrt{2}.é

Resposta

\sqrt{2}

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