[2,0 pts.] 4) Seja
a região limitada verticalmente por
e
, eateralmente por
. Calcule seu volume.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume da região
limitada verticalmente por
e
e lateralmente pela curva
.
Informações dadas:
- A superfície inferior é
, onde . - A superfície superior é
. - A projeção lateral no plano
é a região limitada por . - A tarefa é encontrar o volume da região compreendida entre essas superfícies.
Passo 2
Interpretar a curva lateral no plano
. Reescrevendo a equação:
Portanto a curva é um círculo de centro
e raio
. Em coordenadas polares
, com
,
, essa curva satisfaz
Como
, temos
, então o ângulo varia em
e, para cada
nessa faixa,
varia de
até
. Essa é a região
projetada no plano
.
Passo 3
Explicar como obter o volume: para cada ponto
na projeção
, a região em
vai de
até
. A altura vertical é
. O volume é a integral dupla da altura sobre
:
Aqui
é o elemento de área no plano
.
Passo 4
Trocar para coordenadas polares, onde
. Substituindo
e
na integral:
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Uma primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Logo
Passo 6
Usar simetria para simplificar: as funções
e
são funções pares, então a integral de
a
é o dobro da integral de
a
. Assim
Agora calculamos as duas integrais padrão:
- Para
: usar a identidade . Então
- Para
: escrever e fazer , :
Passo 7
Substituir os valores encontrados:
Colocando em uma única fração: