[2,0 pts.] 4) Seja R a região limitada verticalmente por z=r e z=2, eateralmente por x^{2}+y^{2}=2 x. Calcule seu volume.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume da região R limitada verticalmente por z=r e z=2 e lateralmente pela curva x^{2}+y^{2}=2x.
Informações dadas:
  • A superfície inferior é z=r, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A superfície superior é z=2.
  • A projeção lateral no plano xy é a região limitada por x^{2}+y^{2}=2x.
  • A tarefa é encontrar o volume da região compreendida entre essas superfícies.

Passo 2

Interpretar a curva lateral no plano xy. Reescrevendo a equação:
x^{2}+y^{2}=2x \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x+y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto a curva é um círculo de centro (1,0) e raio 1. Em coordenadas polares (r,\theta), com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, essa curva satisfaz
r^{2}=2r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r=2\cos\theta \quad(\text{para } r\neq 0).
Como r\ge 0, temos \cos\theta\ge 0, então o ângulo varia em
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
e, para cada \theta nessa faixa, r varia de 0 até 2\cos\theta. Essa é a região D projetada no plano xy.

Passo 3

Explicar como obter o volume: para cada ponto (x,y) na projeção D, a região em z vai de z=r até z=2. A altura vertical é 2-r. O volume é a integral dupla da altura sobre D:
V=\iint_{D} (2-r)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Trocar para coordenadas polares, onde dA=r\,dr\,d\theta. Substituindo r e dA na integral:
V=\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2\cos\theta} (2-r)\,r\,dr\,d\theta =\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta} \bigl(2r-r^{2}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r. Uma primitiva de 2r-r^{2} é r^{2}-\dfrac{r^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 2\cos\theta:
\int_{0}^{2\cos\theta} (2r-r^{2})\,dr =\left[r^{2}-\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\cos\theta} =(2\cos\theta)^{2}-\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3} =4\cos^{2}\theta-\frac{8}{3}\cos^{3}\theta.
Logo
V=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(4\cos^{2}\theta-\frac{8}{3}\cos^{3}\theta\right)\,d\theta.

Passo 6

Usar simetria para simplificar: as funções \cos^{2}\theta e \cos^{3}\theta são funções pares, então a integral de -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} é o dobro da integral de 0 a \tfrac{\pi}{2}. Assim
V=2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(4\cos^{2}\theta-\frac{8}{3}\cos^{3}\theta\right)\,d\theta =8\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta-\frac{16}{3}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Agora calculamos as duas integrais padrão:
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta: usar a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{4}.
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta: escrever \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta) e fazer u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{1} (1-u^{2})\,du =\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Substituir os valores encontrados:
V=8\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{16}{3}\cdot\frac{2}{3} =2\pi-\frac{32}{9}.
Colocando em uma única fração:
V=\frac{18\pi-32}{9}.

Resposta

\dfrac{18\pi-32}{9}

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