[2,0 pts.] 3) Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
Passo 1
O enunciado pede: "Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- A integral tripla tem ordem interior em
, depois , depois . - Os limites são:
-
varia de a ; - para cada
, varia de a ; - para cada
(e ), varia de a .
-
O que se pede: escrever a mesma integral sobre a mesma região, mas com quatro ordens de integração diferentes (ou seja, permutar as integrais internas/médias/externas e indicar os limites corretos).
Passo 2
Vamos descrever a região
do espaço
definida pela integral — isso é essencial para trocar a ordem de integração sem erro.
A partir dos limites originais temos:
Portanto a região é
Deduções úteis que vamos usar várias vezes:
- De
e segue . Ou seja, sempre vale . - Como
e , o intervalo total de no conjunto é (o menor valor possível de é com , que dá ).
Passo 3
Estratégia prática para trocar a ordem: projetar
em planos coordenados e escrever limites apropriados.
- Projeção no plano
: existe tal que e . Isso ocorre exatamente quando . Para dados com , o admissível varia entre e . - Projeção no plano
: é o conjunto . Para dado , varia de até . - Projeção no plano
: é . Para dado , varia de até .
Com essas projeções conseguimos montar limites para qualquer ordem de integração.
Passo 4
Escolho
como variável externa (fora), depois
, depois
por dentro.
- Como observado,
varia em . - Para cada
fixo, a projeção em é (porque ). - Para cada
fixo, vai de a .
Logo a integral com essa ordem é
Passo 5
Agora
de novo por fora, mas escolho integrar
no meio e
por dentro.
- Novamente
externo: . - Para cada
fixo, a projeção em é (porque como vimos). - Para cada par
com , o admissível satisfaz (pois ).
Portanto a integral fica
Passo 6
Agora escolho
como variável externa (fora), depois
e por fim
.
- Pelo alcance de
na projeção temos . - Para cada
fixo, deve satisfazer e ; isto é . - Para cada
fixo, varia de até .
Assim a integral é
Passo 7
Finalmente escolho
externo,
médio e
interno.
- Como antes,
externo varia . - Para cada
fixo, deve satisfazer e (pois na projeção ), então . - Para cada par
com , o varia de até .
Logo a integral é