[2,0 pts.] 3) Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} \int_{y^{2}}^{1} f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede: "Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} \int_{y^{2}}^{1} f(x, y, z)\, d z\, d x\, d y."
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • A integral tripla tem ordem interior em z, depois x, depois y.
  • Os limites são:
    • y varia de 0 a 1;
    • para cada y, x varia de 0 a y^{2};
    • para cada y (e x), z varia de y^{2} a 1.
O que se pede: escrever a mesma integral sobre a mesma região, mas com quatro ordens de integração diferentes (ou seja, permutar as integrais internas/médias/externas e indicar os limites corretos).

Passo 2

Vamos descrever a região R do espaço (x,y,z) definida pela integral — isso é essencial para trocar a ordem de integração sem erro.
A partir dos limites originais temos:
0 \le y \le 1,\qquad 0 \le x \le y^{2},\qquad y^{2} \le z \le 1.
Portanto a região é
R=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le1,\; 0\le x\le y^{2},\; y^{2}\le z\le1\}.
Deduções úteis que vamos usar várias vezes:
  • De 0\le x\le y^{2} e y^{2}\le z segue 0\le x\le z. Ou seja, sempre vale x\le z.
  • Como y\in[0,1] e y^{2}\le z\le1, o intervalo total de z no conjunto R é 0\le z\le1 (o menor valor possível de z é y^{2} com y=0, que dá 0).

Passo 3

Estratégia prática para trocar a ordem: projetar R em planos coordenados e escrever limites apropriados.
  • Projeção no plano xz: existe y tal que x\le y^{2}\le z e 0\le y\le1. Isso ocorre exatamente quando 0\le x\le z\le1. Para dados (x,z) com 0\le x\le z\le1, o y admissível varia entre \sqrt{x} e \sqrt{z}.
  • Projeção no plano yz: é o conjunto \{(y,z)\mid 0\le y\le1,\; y^{2}\le z\le1\}. Para dado z, y varia de 0 até \sqrt{z}.
  • Projeção no plano xy: é \{(x,y)\mid 0\le y\le1,\; 0\le x\le y^{2}\}. Para dado y, x varia de 0 até y^{2}.
Com essas projeções conseguimos montar limites para qualquer ordem de integração.

Passo 4

Escolho z como variável externa (fora), depois y, depois x por dentro.
  • Como observado, z varia em 0\le z\le1.
  • Para cada z fixo, a projeção em y é 0\le y\le \sqrt{z} (porque y^{2}\le z).
  • Para cada y fixo, x vai de 0 a y^{2}.
Logo a integral com essa ordem é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{z}}\int_{0}^{y^{2}} f(x,y,z)\, d x\, d y\, d z.

Passo 5

Agora z de novo por fora, mas escolho integrar x no meio e y por dentro.
  • Novamente z externo: 0\le z\le1.
  • Para cada z fixo, a projeção em x é 0\le x\le z (porque x\le z como vimos).
  • Para cada par (x,z) com 0\le x\le z\le1, o y admissível satisfaz \sqrt{x}\le y\le \sqrt{z} (pois x\le y^{2}\le z).
Portanto a integral fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\, d y\, d x\, d z.

Passo 6

Agora escolho x como variável externa (fora), depois y e por fim z.
  • Pelo alcance de x na projeção xz temos 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, y deve satisfazer x\le y^{2} e y\le1; isto é \sqrt{x}\le y\le1.
  • Para cada y fixo, z varia de y^{2} até 1.
Assim a integral é
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{y^{2}}^{1} f(x,y,z)\, d z\, d y\, d x.

Passo 7

Finalmente escolho x externo, z médio e y interno.
  • Como antes, x externo varia 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, z deve satisfazer z\ge x e z\le1 (pois x\le z\le1 na projeção xz), então x\le z\le1.
  • Para cada par (x,z) com x\le z, o y varia de \sqrt{x} até \sqrt{z}.
Logo a integral é
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\, d y\, d z\, d x.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{z}}\int_{0}^{y^{2}} f(x,y,z)\, d x\, d y\, d z
\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\, d y\, d x\, d z
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{y^{2}}^{1} f(x,y,z)\, d z\, d y\, d x
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{z}} f(x,y,z)\, d y\, d z\, d x

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