[2] Você realizou múltiplas medidas para determinar o diâmetro de uma mesa de tampo circular com uma trena. Os resultados estão anotados abaixo em cm. A incerteza instrumental é de 0,5 \mathrm{~mm}. Qual é o diâmetro do tampo da mesa em m ?
155,52 154,93 155,38
156,02 154,78 155,30

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o diâmetro do tampo da mesa em m?”
Dados fornecidos (todas as medidas em centímetros):
\;155,52,\;154,93,\;155,38,\;156,02,\;154,78,\;155,30.
Incerteza instrumental: \;0,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a média aritmética das medidas (o valor melhor estimado do diâmetro a partir das medições). A fórmula da média aritmética é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de medidas e x_i são as medidas. Aqui n=6.
Calculo da soma e da média em cm:
\sum_{i=1}^{6} x_i = 155,52+154,93+155,38+156,02+154,78+155,30=931,93
\bar{x}=\frac{931,93}{6}=155,321666\ldots\\ \mathrm{cm}

Passo 3

Agora precisamos avaliar a dispersão das medidas. Usamos o desvio-padrão amostral s, cuja fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Aqui s mede quanto as medidas variam entre si. Vou calcular os desvios (x_i-\bar{x}), seus quadrados e a soma.
Desvios e quadrados (valores em cm):
\begin{aligned} 155,52-\bar{x}&=0,19833\ldots &\Rightarrow&\\ (0,19833\ldots)^2\approx0,039334\\\\ 154,93-\bar{x}&=-0,39167\ldots &\Rightarrow&\\ (-0,39167\ldots)^2\approx0,153403\\\\ 155,38-\bar{x}&=0,05833\ldots &\Rightarrow&\\ (0,05833\ldots)^2\approx0,003403\\\\ 156,02-\bar{x}&=0,69833\ldots &\Rightarrow&\\ (0,69833\ldots)^2\approx0,487668\\\\ 154,78-\bar{x}&=-0,54167\ldots &\Rightarrow&\\ (-0,54167\ldots)^2\approx0,293403\\\\ 155,30-\bar{x}&=-0,02167\ldots &\Rightarrow&\\ (-0,02167\ldots)^2\approx0,000469 \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2\approx0,977680\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 4

Calcular s:
s=\sqrt{\frac{0,977680}{6-1}}=\sqrt{\frac{0,977680}{5}}=\sqrt{0,195536}\approx0,44226\\ \mathrm{cm}.
Isso significa que as medidas individuais têm dispersão típica de aproximadamente \;0,44\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Para estimar a incerteza do valor médio (incerteza tipo A, associada à dispersão das medições), usamos o erro padrão da média:
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui n=6, então
u_A=\frac{0,44226}{\sqrt{6}}=\frac{0,44226}{2,44949}\approx0,1806\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: se repetíssemos o conjunto de 6 medições muitas vezes, a média se distribuiria com desvio padrão \approx0,18\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Agora tratar a incerteza instrumental (tipo B). Foi dada como \;0,5\\ \mathrm{mm}. Convertemos para centímetros:
0,5\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{cm}.
Quando a incerteza instrumental é dada como um limite (normalmente assumimos distribuição retangular, i.e., qualquer valor no intervalo é igualmente provável), a incerteza padrão correspondente é
u_B=\frac{a}{\sqrt{3}},
onde a é o semi-intervalo (aqui toma-se o valor informado como meia largura). Adotando a=0,05\\ \mathrm{cm},
u_B=\frac{0,05}{\sqrt{3}}\approx0,02887\\ \mathrm{cm}.
(Observação didática: dividir por \sqrt{3} vem da relação entre largura de uma distribuição uniforme e seu desvio-padrão.)

Passo 7

Combinar as incertezas tipo A e B (assumindo independência) pela soma em quadratura:
u_{\text{total}}=\sqrt{u_A^2+u_B^2}.
Substituindo os valores em centímetros:
u_{\text{total}}=\sqrt{(0,1806)^2+(0,02887)^2}\approx\sqrt{0,032616+0,000834}\approx\sqrt{0,033450}\approx0,18284\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Converter média e incerteza para metros (dividir por 100). Média:
\bar{x}=\frac{155,321666\ldots}{100}=1,55321666\ldots\\ \mathrm{m}.
Incerteza:
u_{\text{total}}=\frac{0,18284}{100}=0,0018284\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Regra de arredondamento para reporte: normalmente reporta-se a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos e a média arredondada para a mesma casa decimal. Vou apresentar a incerteza com duas cifras significativas para manter precisão: 0,0018\\ \mathrm{m}. Então a média fica arredondada à mesma casa decimal ( 10^{-4} m):
\text{diâmetro} = 1,5532\\ \mathrm{m}\pm0,0018\\ \mathrm{m}.â

Resposta

1,5532\\ \mathrm{m}\pm0,0018\\ \mathrm{m}

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