(1,0) Considere dois eventos A e B em um espaço amostral. Sabemos que:
  • P(A)=0,4
  • P(A \cup B)=0,7
  • P(A \cap B)=0,2
Com base nas informaçōes acima, calcule a probabilidade do evento B, ou seja,

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A)=0,4.
  • P(A \cup B)=0,7.
  • P(A \cap B)=0,2.
O que a questão pede:
  • Calcular a probabilidade do evento B, isto é, encontrar P(B).

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) uma fórmula fundamental de probabilidade que liga a probabilidade da união com as probabilidade dos eventos isolados e da interseção: a fórmula de inclusão-exclusão para dois eventos. Ela diz:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
O que cada termo significa:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B) são as probabilidades de ocorrerem respectivamente A e B.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos A e B ao mesmo tempo.
Intuição rápida (para lembrar na prova): se somarmos P(A)+P(B) contamos duas vezes a parte onde ambos acontecem; então subtraímos P(A\cap B) para corrigir essa dupla contagem. É por isso do termo com sinal menos.

Passo 3

Como queremos P(B), isolamos P(B) na fórmula. Partindo de
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
somamos P(A\cap B) e subtraímos P(A) dos dois lados para obter:
P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B).
Isso é só álgebra simples: movemos os termos conhecidos para o lado direito.

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que o enunciado deu. Usando \;P(A\cup B)=0,7,\;P(A)=0,4,\;P(A\cap B)=0,2\; (estou pegando esses números do enunciado), temos:
P(B)=0,7-0,4+0,2.
Vou fazer a conta passo a passo para que dê para acompanhar na prova sem calculadora:
Primeiro calcule 0,7-0,4:
0,7-0,4=0,3.
Depois some 0,2:
0,3+0,2=0,5.

Passo 5

Interprete o resultado: P(B)=0,5 significa que o evento B tem probabilidade 50\%. Verificação rápida de consistência: toda probabilidade deve estar entre 0 e 1. Aqui 0,5 está nesse intervalo, e faz sentido dado os números fornecidos (por exemplo, a interseção 0,2 é menor que cada probabilidade individual, como esperado).

Resposta

P(B)=0,5

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