2 7) [2] Você realizou múltiplas medidas para determinar o diâmetro de uma esfera. Os resultados estão anotados abaixo em cm . A incerteza instrumental é de 0,01 \mathrm{~cm}. Qual é o diâmetro da esfera?
7,34 7,42 7,40
7,52 7,39 7,44

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro da esfera a partir de múltiplas medidas e dada uma incerteza instrumental. Dados fornecidos (em cm): \;7,34,\;7,42,\;7,40,\;7,52,\;7,39,\;7,44. A incerteza instrumental é \;0,01\\ \mathrm{cm}.
O que precisamos entregar: o valor do diâmetro com a incerteza adequada (ou seja, a média das medidas e a incerteza combinada).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a média aritmética das medidas. A média é o melhor estimador do valor verdadeiro quando as medições têm erros aleatórios centrados em zero. A fórmula da média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \;n é o número de medidas e x_i são as medidas individuais. Aqui n=6. Somando as medidas obtemos
\sum_{i=1}^{6} x_i = 7,34+7,42+7,40+7,52+7,39+7,44 = 44,51.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{44,51}{6}=7,418333\ldots \\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora precisamos quantificar a dispersão das medidas (para obter a incerteza estatística de tipo A). Usamos o desvio padrão amostral s, cuja fórmula é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde cada x_i-\bar{x} é a diferença entre uma medida e a média. Calculando as diferenças ao quadrado (mostro os valores aproximados):
\begin{aligned} (7,34-\bar{x})^2 &\approx 0,00613611,\\\ (7,42-\bar{x})^2 &\approx 0,00000278,\\\ (7,40-\bar{x})^2 &\approx 0,00033611,\\\ (7,52-\bar{x})^2 &\approx 0,01033403,\\\ (7,39-\bar{x})^2 &\approx 0,00080278,\\\ (7,44-\bar{x})^2 &\approx 0,00046944. \end{aligned}
Somando esses quadrados obtemos \sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 0,01808125. Assim
s=\sqrt{\frac{0,01808125}{6-1}}=\sqrt{0,00361625}\approx 0,060138\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

A incerteza estatística da média (erro padrão da média), chamada incerteza tipo A, é dada por
u_A=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Isto mede quanto a média estimada poderia variar se repetíssemos o conjunto de n medições. Substituindo:
u_A=\frac{0,060138}{\sqrt{6}}\approx \frac{0,060138}{2,44949}\approx 0,02455\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora precisamos combinar essa incerteza estatística com a incerteza instrumental (tipo B). A regra padrão (quando as incertezas são independentes e aproximam-se de distribuições normais) é combinar por soma quadrática:
u_{\text{comb}}=\sqrt{u_A^2+u_B^2},
onde u_B é a incerteza instrumental expressa como incerteza padrão. O enunciado diz que a incerteza instrumental é \;0,01\\ \mathrm{cm}. Vou interpretar isso como a incerteza padrão fornecida; essa é uma interpretação usual quando o problema fornece diretamente o valor da incerteza instrumental. (Observação: se \;0,01\\ \mathrm{cm} fosse a resolução do instrumento e estivéssemos instruídos a tratá‑la como meio‑intervalo com distribuição retangular, então usaríamos u_B=0,01/\sqrt{3}; farei um comentário num passo final sobre essa alternativa.)

Passo 6

Combinando u_A\approx 0,02455\\ \mathrm{cm} e u_B=0,01\\ \mathrm{cm} obtemos
u_{\text{comb}}=\sqrt{(0,02455)^2+(0,01)^2}=\sqrt{0,0006029+0,0001}\approx\sqrt{0,0007029}\approx 0,02652\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Arredondamento e apresentação do resultado: a incerteza geralmente é apresentada com uma ou, às vezes, duas cifras significativas. Aqui u_{\text{comb}}\approx 0,02652\\ \mathrm{cm}; com uma cifra significativa seria 0,03\\ \mathrm{cm}, com duas cifras significativas seria 0,027\\ \mathrm{cm}. Vou adotar uma cifra significativa (prática comum) e apresentar a média com a mesma casa decimal da incerteza: como 0,03\\ \mathrm{cm} tem duas casas decimais (centésimos), arredondamos a média para centésimos. A média calculada era \bar{x}=7,41833\ldots que arredondada aos centésimos fica 7,42\\ \mathrm{cm}. Portanto o resultado apresentado é
7,42\pm 0,03\\ \mathrm{cm}.
Observação alternativa (se preferir tratar a incerteza instrumental como resolução com distribuição retangular): tomar u_B=0,01/\sqrt{3}\approx 0,00577\\ \mathrm{cm} daria
u_{\text{comb}}=\sqrt{(0,02455)^2+(0,00577)^2}\approx 0,02523\\ \mathrm{cm},
ou seja, ainda em torno de 0,03\\ \mathrm{cm} quando arredondado a uma cifra significativa. Isso mostra que a escolha razoável não muda muito o resultado prático aqui.

Resposta

\;7,42\pm 0,03\\ \mathrm{cm}

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