2 7) [2] Você realizou múltiplas medidas para determinar o diâmetro de uma esfera. Os resultados estão anotados abaixo em cm . A incerteza instrumental é de 0,01 \mathrm{~cm}. Qual é o diâmetro da esfera?
7,34
7,42
7,40
7,52
7,39
7,44
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro da esfera a partir de múltiplas medidas e dada uma incerteza instrumental. Dados fornecidos (em cm): \;7,34,\;7,42,\;7,40,\;7,52,\;7,39,\;7,44. A incerteza instrumental é \;0,01\\ \mathrm{cm}.
O que precisamos entregar: o valor do diâmetro com a incerteza adequada (ou seja, a média das medidas e a incerteza combinada).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a média aritmética das medidas. A média é o melhor estimador do valor verdadeiro quando as medições têm erros aleatórios centrados em zero. A fórmula da média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \;n é o número de medidas e x_i são as medidas individuais. Aqui n=6. Somando as medidas obtemos
Agora precisamos combinar essa incerteza estatística com a incerteza instrumental (tipo B). A regra padrão (quando as incertezas são independentes e aproximam-se de distribuições normais) é combinar por soma quadrática:
u_{\text{comb}}=\sqrt{u_A^2+u_B^2},
onde u_B é a incerteza instrumental expressa como incerteza padrão. O enunciado diz que a incerteza instrumental é \;0,01\\ \mathrm{cm}. Vou interpretar isso como a incerteza padrão fornecida; essa é uma interpretação usual quando o problema fornece diretamente o valor da incerteza instrumental. (Observação: se \;0,01\\ \mathrm{cm} fosse a resolução do instrumento e estivéssemos instruídos a tratá‑la como meio‑intervalo com distribuição retangular, então usaríamos u_B=0,01/\sqrt{3}; farei um comentário num passo final sobre essa alternativa.)
Passo 6
Combinando u_A\approx 0,02455\\ \mathrm{cm} e u_B=0,01\\ \mathrm{cm} obtemos
Arredondamento e apresentação do resultado: a incerteza geralmente é apresentada com uma ou, às vezes, duas cifras significativas. Aqui u_{\text{comb}}\approx 0,02652\\ \mathrm{cm}; com uma cifra significativa seria 0,03\\ \mathrm{cm}, com duas cifras significativas seria 0,027\\ \mathrm{cm}. Vou adotar uma cifra significativa (prática comum) e apresentar a média com a mesma casa decimal da incerteza: como 0,03\\ \mathrm{cm} tem duas casas decimais (centésimos), arredondamos a média para centésimos. A média calculada era \bar{x}=7,41833\ldots que arredondada aos centésimos fica 7,42\\ \mathrm{cm}. Portanto o resultado apresentado é
7,42\pm 0,03\\ \mathrm{cm}.
Observação alternativa (se preferir tratar a incerteza instrumental como resolução com distribuição retangular): tomar u_B=0,01/\sqrt{3}\approx 0,00577\\ \mathrm{cm} daria
ou seja, ainda em torno de 0,03\\ \mathrm{cm} quando arredondado a uma cifra significativa. Isso mostra que a escolha razoável não muda muito o resultado prático aqui.