2-20 (2-21) A partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e sem geração de calor.
Passo 1
O enunciado pede que, a partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, eu derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e sem geração de calor. Vou listar claramente o que foi dado e o que preciso obter:
Dados / hipóteses:
Condutividade térmica constante: k= constante.
Sem geração interna de calor: taxa de geração volumétrica igual a zero.
Condução unidimensional ao longo do eixo x (variação de temperatura só em x).
Considere um elemento prismático de faces perpendiculares a x, com espessura \Delta x e área de face A.
Massa volumétrica e capacidade térmica específicas: densidade \rho e calor específico a pressão constante c (ou capacidade térmica por massa c).
O que precisa ser derivado:
A equação diferencial que relaciona a variação temporal da temperatura com suas derivadas espaciais (a forma transiente unidimensional), ou seja, a forma final esperada\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}ou, introduzindo a difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c},\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
Passo 2
Escrevendo o balanço de energia para o elemento de volume (princípio da conservação de energia). A forma geral do balanço é:
Acumulação de energia no volume = energia que entra pelas faces - energia que sai pelas faces + geração interna.
Vou traduzir isso em expressões matemáticas. A massa do elemento é m=\rho A \Delta x. A variação temporal da energia interna do elemento (acumulação) é a massa vezes o calor específico vezes a variação temporal da temperatura:
\text{acumulação} = m c \frac{\partial T}{\partial t} = \rho A \Delta x\, c \frac{\partial T}{\partial t}.
Denoto por \dot{Q}_x a taxa de calor (potência, em W) que cruza a face em x na direção positiva x, e por \dot{Q}_{x+\Delta x} a taxa de calor que cruza a face em x+\Delta x. Não há geração interna (=0). Assim o balanço fica:
\rho A \Delta x\, c \frac{\partial T}{\partial t} = \dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\Delta x}.
Aqui expliquei o que é cada termo: \dot{Q}_x é calor entrando pela face esquerda (em x) se positivo, \dot{Q}_{x+\Delta x} é calor saindo pela face direita.
Passo 3
Agora uso a lei de Fourier para relacionar \dot{Q} com o gradiente de temperatura. Para condução unidimensional a taxa de calor através da face de área A em posição x é
\dot{Q}_x = -k A \frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x}.
Explicação do sinal e das grandezas:
O gradiente \dfrac{\partial T}{\partial x} tem sinal que indica se a temperatura cresce com x.
A constante k é a condutividade térmica (unidades: W/(m·K)).
O sinal negativo em Fourier significa que o fluxo de calor vai do local de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (se \partial T/\partial x>0, então \dot{Q}_x<0, saindo para a esquerda).
A é a área da face pela qual o calor atravessa (m²).
Portanto tanto \dot{Q}_x quanto \dot{Q}_{x+\Delta x} podem ser escritos por essa expressão avaliada em x e em x+\Delta x.
Passo 4
Substituo essas expressões no balanço e uso uma expansão em Taylor para tratar \dot{Q}_{x+\Delta x}. Primeiro, escrevo a diferença:
Todas as variáveis foram definidas: T(x,t) temperatura, t tempo, x coordenada espacial; \rho densidade, c calor específico por massa, k condutividade térmica, A área da seção transversal do elemento, \Delta x espessura do elemento.
A equação mostra que a taxa de mudança temporal da temperatura em um ponto é proporcional à curvatura espacial da distribuição de temperatura naquele ponto. A constante proporcional \alpha tem unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e representa a rapidez com que a temperatura “se difunde” no material.
Limite de estado estacionário: se \partial T/\partial t=0, obtém-se \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}=0, ou seja, temperatura linear em x na ausência de geração interna.
Motivação física simples: calor flui onde há gradiente; diferenças de fluxo entre faces produzem acúmulo; isso leva à equação de difusão térmica acima.
Força aí — essa é a dedução padrão e o que normalmente o professor espera ver na prova: balanço + lei de Fourier + expansão de Taylor + simplificação para obter a PDE.
Resposta
\rho c \dfrac{\partial T}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}