2-20 (2-21) A partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, eu derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana com condutividade térmica constante e sem geração de calor. Vou listar claramente o que foi dado e o que preciso obter:
  • Dados / hipóteses:
    • Condutividade térmica constante: k= constante.
    • Sem geração interna de calor: taxa de geração volumétrica igual a zero.
    • Condução unidimensional ao longo do eixo x (variação de temperatura só em x).
    • Considere um elemento prismático de faces perpendiculares a x, com espessura \Delta x e área de face A.
    • Massa volumétrica e capacidade térmica específicas: densidade \rho e calor específico a pressão constante c (ou capacidade térmica por massa c).
  • O que precisa ser derivado:
    • A equação diferencial que relaciona a variação temporal da temperatura com suas derivadas espaciais (a forma transiente unidimensional), ou seja, a forma final esperada \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}ou, introduzindo a difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c}, \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.

Passo 2

Escrevendo o balanço de energia para o elemento de volume (princípio da conservação de energia). A forma geral do balanço é:
  • Acumulação de energia no volume = energia que entra pelas faces - energia que sai pelas faces + geração interna.
Vou traduzir isso em expressões matemáticas. A massa do elemento é m=\rho A \Delta x. A variação temporal da energia interna do elemento (acumulação) é a massa vezes o calor específico vezes a variação temporal da temperatura:
\text{acumulação} = m c \frac{\partial T}{\partial t} = \rho A \Delta x\, c \frac{\partial T}{\partial t}.çã
Denoto por \dot{Q}_x a taxa de calor (potência, em W) que cruza a face em x na direção positiva x, e por \dot{Q}_{x+\Delta x} a taxa de calor que cruza a face em x+\Delta x. Não há geração interna ( =0). Assim o balanço fica:
\rho A \Delta x\, c \frac{\partial T}{\partial t} = \dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\Delta x}.
Aqui expliquei o que é cada termo: \dot{Q}_x é calor entrando pela face esquerda (em x) se positivo, \dot{Q}_{x+\Delta x} é calor saindo pela face direita.

Passo 3

Agora uso a lei de Fourier para relacionar \dot{Q} com o gradiente de temperatura. Para condução unidimensional a taxa de calor através da face de área A em posição x é
\dot{Q}_x = -k A \frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x}.
Explicação do sinal e das grandezas:
  • O gradiente \dfrac{\partial T}{\partial x} tem sinal que indica se a temperatura cresce com x.
  • A constante k é a condutividade térmica (unidades: W/(m·K)).
  • O sinal negativo em Fourier significa que o fluxo de calor vai do local de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (se \partial T/\partial x>0, então \dot{Q}_x<0, saindo para a esquerda).
  • A é a área da face pela qual o calor atravessa (m²).
Portanto tanto \dot{Q}_x quanto \dot{Q}_{x+\Delta x} podem ser escritos por essa expressão avaliada em x e em x+\Delta x.

Passo 4

Substituo essas expressões no balanço e uso uma expansão em Taylor para tratar \dot{Q}_{x+\Delta x}. Primeiro, escrevo a diferença:
\dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\Delta x} = -\left[\dot{Q}_{x+\Delta x} - \dot{Q}_x\right].
Expandindo \dot{Q}_{x+\Delta x} em Taylor em torno de x e desprezando termos de ordem superior em \Delta x:
\dot{Q}_{x+\Delta x} \approx \dot{Q}_x + \frac{\partial \dot{Q}}{\partial x}\Big|_{x}\,\Delta x.
Logo
\dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\Delta x} \approx -\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x}\Big|_{x}\,\Delta x.
Substituindo isso no balanço do Passo 2:
\rho A \Delta x\, c \frac{\partial T}{\partial t} \approx -\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x}\Big|_{x}\,\Delta x.
Divido ambos os lados por A\Delta x (assumindo \Delta x>0):
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} \approx -\frac{1}{A}\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x}.

Passo 5

Agora substituo \dot{Q} = -k A \dfrac{\partial T}{\partial x} na expressão obtida. Primeiro calcule a derivada espacial:
\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(-k A \frac{\partial T}{\partial x}\right).
Como k e A são constantes (hipótese), isso fica
\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x} = -k A \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
Substituindo em
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{A}\frac{\partial \dot{Q}}{\partial x},
obtemos
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{A}\left(-k A \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\right).
Os sinais e o A se cancelam, sobrando a forma clássica:
\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.

Passo 6

Interpretação final e forma alternativa com difusividade térmica. Dividindo por \rho c e definindo a difusividade térmica \alpha como
\alpha = \frac{k}{\rho c},
chegamos à forma mais usada da equação:
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.
Comentários didáticos rápidos:
  • Todas as variáveis foram definidas: T(x,t) temperatura, t tempo, x coordenada espacial; \rho densidade, c calor específico por massa, k condutividade térmica, A área da seção transversal do elemento, \Delta x espessura do elemento.
  • A equação mostra que a taxa de mudança temporal da temperatura em um ponto é proporcional à curvatura espacial da distribuição de temperatura naquele ponto. A constante proporcional \alpha tem unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e representa a rapidez com que a temperatura “se difunde” no material.
  • Limite de estado estacionário: se \partial T/\partial t=0, obtém-se \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}=0, ou seja, temperatura linear em x na ausência de geração interna.
  • Motivação física simples: calor flui onde há gradiente; diferenças de fluxo entre faces produzem acúmulo; isso leva à equação de difusão térmica acima.
Força aí — essa é a dedução padrão e o que normalmente o professor espera ver na prova: balanço + lei de Fourier + expansão de Taylor + simplificação para obter a PDE.

Resposta

\rho c \dfrac{\partial T}{\partial t} = k \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}
\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2},\quad \alpha=\dfrac{k}{\rho c}

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