Considere um pião simétrico que tem forma de cone homogêneo de massa M, raio da base R e altura 4 R
a) Obtenha a matriz de inércia em relação ao vértice do cone.
b) Determine os momentos e eixos principais de inércia em relação ao vértice do cone.
c) Suponha que o pião gira em torno do seu vértice, o qual permanece fixo num referencial inercial, na presença de um campo gravitacional constante de môdulo g. Usando os ângulos de Euler ( \varphi, \theta, \psi ) como coordenadas generalizadas, obtenha a hamiltoniana e as equações de movimento.
d) Supondo que o movimento do pião tem condições iniciais \theta(0)=0, \dot{\theta}(0)=0, \dot{\varphi}(0)=\dot{\psi}(0)=\omega>0, realize o gráfico da trajetória no espaço de fase reduzido \left(\theta, P_{\theta}\right).
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um pião que é um cone sólido homogêneo com massa M, raio da base R e altura 4R. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que temos:
Dados geométricos:
massa M,
raio da base R,
altura h=4R.
Pedidos:
(a) Obter a matriz de inércia em relação ao vértice do cone (origem no vértice).
(b) Determinar os momentos e eixos principais de inércia relativos ao vértice.
(c) Considerando o vértice fixo e um campo gravitacional uniforme de módulo g, usar os ângulos de Euler (\varphi,\theta,\psi) como coordenadas generalizadas para obter a hamiltoniana e as equações de movimento.
(d) Com condições iniciais \theta(0)=0, \dot\theta(0)=0, \dot\varphi(0)=\dot\psi(0)=\omega>0, traçar a trajetória no espaço de fase reduzido (\theta,P_\theta).
Observações úteis que vou usar (serão desenvolvidas passo a passo):
volume do cone: \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi R^2 h.
densidade volumétrica homogênea: \rho=M/V.
eixo de simetria do cone: será escolhido como o eixo z (origem no vértice), por conveniência.
centro de massa do cone sólido: fica a uma distância \displaystyle l_{\text{cm}}=\frac{3}{4}h do vértice ao longo do eixo de simetria.
Passo 2
Cálculo da massa volumétrica \rho (para integrar): escrevo o volume e a densidade.
Lembrando que h=4R, mas por enquanto mantenho h simbólico e substituirei h=4R quando conveniente.
Passo 3
Escolha de coordenadas e fórmulas para os momentos de inércia no vértice.
Usarei coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) com o eixo z ao longo do eixo do cone e o vértice em z=0, a base em z=h. A seção transversal no nível z tem raio r_{\max}(z)=\dfrac{R}{h}z.
Fórmulas básicas (definição de momentos de inércia em torno do vértice):I_{zz}=\int \rho\, r^2\,dV, \qquad I_{xx}=\int \rho\,(y^2+z^2)\,dV, \qquad I_{yy}=\int \rho\,(x^2+z^2)\,dV.
Pelo simetria de revolução em torno de z, teremos I_{xx}=I_{yy} e as componentes fora da diagonal (produto de inércia) são nulas quando as direções x,y,z são tomadas com z eixos de simetria.
Vou calcular I_{zz} e I_{xx} por integração.
Passo 4
Cálculo de I_{zz} (momento em torno do eixo de simetria, relativo ao vértice).
Usando cilíndricas dV=r\,dr\,d\varphi\,dz, com r\in[0,(R/h)z], \varphi\in[0,2\pi], z\in[0,h]:
Observação: como esperado, I_{zz} é independente do ponto de referência ao longo do próprio eixo z (mudança de origem ao longo do eixo não altera distâncias radiais), logo é o mesmo valor obtido quando o eixo passa pelo centróide.
Passo 5
Cálculo de I_{xx} (qualquer eixo perpendicular ao eixo de simetria, através do vértice).
Usarei a relação
Em forma matricial (no sistema de referência com a origem no vértice e eixo z coincidindo com o eixo de simetria do cone), a matriz de inércia é diagonal:\mathbf{I}=\begin{pmatrix} I_{xx} & 0 & 0\\[4pt] 0 & I_{yy} & 0\\[4pt] 0 & 0 & I_{zz} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{39}{4}MR^2 & 0 & 0\\[6pt] 0 & \dfrac{39}{4}MR^2 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{3}{10}MR^2 \end{pmatrix}.]
Passo 7
Resposta à parte (b): momentos e eixos principais.
Pelo passo anterior, os eixos principais são:
eixo de simetria do cone (direção z), com momento principal I_3\equiv I_{zz}=\dfrac{3}{10}MR^2.
quaisquer dois eixos ortogonais no plano da base (direções x e y), com momento I_1\equiv I_{xx}=I_{yy}=\dfrac{39}{4}MR^2.
Assim os momentos principais (ordenando) são I_1=I_2=\dfrac{39}{4}MR^2 e I_3=\dfrac{3}{10}MR^2. Os eixos principais são o eixo de simetria do cone e quaisquer dois eixos ortogonais na base através do vértice.
Passo 8
Preparação para a dinâmica com ângulos de Euler; posição do centro de massa e energia potencial.
O centro de massa do cone fica a l_{\text{cm}}=\dfrac{3}{4}h do vértice ao longo do eixo do cone. Com h=4R:l_{\text{cm}}=\frac{3}{4}\cdot 4R=3R.
Se \theta for o ângulo entre o eixo de simetria do corpo (eixo 3 do corpo) e a vertical (eixo espacial z), então a energia potencial gravitacional (com referência no vértice) éV(\theta)=M g l_{\text{cm}}\cos\theta = 3MgR\cos\theta.(Aqui escolhi a convenção usual: \theta=0 quando o eixo do corpo está alinhado com a vertical para cima, o CM fica a altura máxima +3R.)
Passo 9
Expressão da velocidade angular em termos dos ângulos de Euler e construção da energia cinética.
Adoto a convenção padrão usada para o top simétrico (convenção de Euler tal que as componentes da velocidade angular no referencial do corpo são)\omega_1=\dot\theta\cos\psi+\dot\varphi\sin\theta\sin\psi,
Explico brevemente: \dot\varphi é a velocidade de precessão em torno do eixo espacial z, \dot\theta é a velocidade de nutação, \dot\psi é a velocidade de rotação em torno do eixo de simetria do corpo; estas relações são padrão e podem ser obtidas compondo rotações elementares (não preciso repetir toda a derivação geométrica aqui).
A energia cinética rotacional, para um corpo axialmente simétrico (momentos I_1=I_2 e I_3), éT=\frac{1}{2}I_1(\omega_1^2+\omega_2^2)+\frac{1}{2}I_3\omega_3^2.Observação prática: usando as expressões acima verifica-se (identidade direta) que\omega_1^2+\omega_2^2=\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta, \qquad \omega_3=\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta.
Então a energia cinética ficaT=\frac{1}{2}I_1\bigl(\dot\theta^2+\dot\varphi^2\sin^2\theta\bigr) +\frac{1}{2}I_3\bigl(\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta\bigr)^2.
Passo 10
Lagrangiana, momentos canônicos e observações sobre coordenadas cíclicas.
A Lagrangiana é L=T-V, com V=3MgR\cos\theta e T do passo anterior.
Observação importante: \varphi e \psi são coordenadas cíclicas (L não depende de \varphi nem de \psi explicitamente), o que implica que P_\varphi e P_\psi são constantes do movimento (conservados).
Passo 11
Inversão para obter \dot\varphi e \dot\psi em função dos momentos canônicos.
Da definição de P_\psi:\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta=\frac{P_\psi}{I_3}.
Substituo na expressão de P_\varphi:P_\varphi=I_1\dot\varphi\sin^2\theta + P_\psi\cos\theta.DaíI_1\dot\varphi\sin^2\theta = P_\varphi - P_\psi\cos\thetae portanto\dot\varphi=\frac{P_\varphi-P_\psi\cos\theta}{I_1\sin^2\theta}.
Construção da hamiltoniana (energia total em termos dos momentos canônicos).
O Hamiltoniano é H=P_\theta\dot\theta+P_\varphi\dot\varphi+P_\psi\dot\psi-L e, após eliminação das velocidades, fica a forma padrão conhecida para o top simétrico:H(\theta,P_\theta,P_\varphi,P_\psi)=\frac{P_\theta^2}{2I_1} +\frac{\bigl(P_\varphi-P_\psi\cos\theta\bigr)^2}{2I_1\sin^2\theta} +\frac{P_\psi^2}{2I_3}+M g l_{\text{cm}}\cos\theta.
Substituindo l_{\text{cm}}=3R e os momentos I_1=\dfrac{39}{4}MR^2, I_3=\dfrac{3}{10}MR^2 obtém-se a hamiltoniana explícita em termos de M,R,g (mas a forma simbólica acima é mais clara conceitualmente).
Comentário didático: a segunda parcela \dfrac{(P_\varphi-P_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta} atua como um potencial efetivo de “barreiras” centrífugas que diverge quando \theta\to 0 ou \pi a menos que o numerador tenda a zero. Isso é a razão pela qual, para certos valores dos momentos, a posição vertical pode ser uma posição de equilíbrio estável (o chamado “sleeping top”).
Passo 13
Equações de Hamilton (equações de movimento).
Hamilton registra:\dot\theta=\frac{\partial H}{\partial P_\theta}=\frac{P_\theta}{I_1},
\dot P_\theta=-\frac{\partial H}{\partial\theta} = -\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left[\frac{(P_\varphi-P_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}+M g l_{\text{cm}}\cos\theta\right].
Faço a derivada explícita da parcela complicada; coloque A(\theta)=P_\varphi-P_\psi\cos\theta. Então\frac{d}{d\theta}\left(\frac{A^2}{2I_1\sin^2\theta}\right) =\frac{1}{I_1}\Bigl(A\,P_\psi\csc\theta - A^2\csc^2\theta\cot\theta\Bigr).Portanto\dot P_\theta = -\frac{1}{I_1}\Bigl(A\,P_\psi\csc\theta - A^2\csc^2\theta\cot\theta\Bigr)+M g l_{\text{cm}}\sin\theta.
As outras equações triviais por conservação:\dot P_\varphi= -\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0,\qquad \dot P_\psi= -\frac{\partial H}{\partial\psi}=0,o que confirma P_\varphi,P_\psi constantes.
Resumindo as equações de movimento canônicas reduzidas (variáveis \theta,P_\theta com parâmetros P_\varphi,P_\psi constantes):\boxed{\dot\theta=\frac{P_\theta}{I_1},}
\boxed{\dot P_\theta = -\frac{1}{I_1}\Bigl((P_\varphi-P_\psi\cos\theta)P_\psi\csc\theta - (P_\varphi-P_\psi\cos\theta)^2\csc^2\theta\cot\theta\Bigr)+M g l_{\text{cm}}\sin\theta.}
Passo 14
Condições iniciais e análise do espaço de fase reduzido (\theta,P_\theta).
Dados iniciais:\theta(0)=0,\quad \dot\theta(0)=0,\quad \dot\varphi(0)=\dot\psi(0)=\omega>0.
Calculo dos momentos canônicos iniciais:
P_\theta(0)=I_1\dot\theta(0)=0.
P_\psi=I_3(\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta). Em \,t=0 com \theta(0)=0,\cos0=1, logoP_\psi=I_3(\omega+\omega)=2I_3\omega.Portanto P_\psi é constante e vale 2I_3\omega.
P_\varphi=I_1\dot\varphi\sin^2\theta+P_\psi\cos\theta. Em t=0: \sin0=0 e \cos0=1, entãoP_\varphi=P_\psi=2I_3\omega.
Energia inicial (Hamiltoniano) com esses valores: como P_\varphi-P_\psi\cos0=0, a parcela singular se regulariza (limite finito) e dáE=H(0,0,P_\varphi,P_\psi)=\frac{P_\psi^2}{2I_3}+M g l_{\text{cm}}.Substituindo P_\psi=2I_3\omega:E=2I_3\omega^2+M g l_{\text{cm}}.
No espaço de fase reduzido (\theta,P_\theta) as trajetórias são curvas de nível da energia efetiva:\frac{P_\theta^2}{2I_1}+U_{\text{eff}}(\theta)=E,ondeU_{\text{eff}}(\theta)=\frac{(P_\varphi-P_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}+\frac{P_\psi^2}{2I_3}+M g l_{\text{cm}} \cos\theta.Para os valores iniciais temos P_\varphi=P_\psi, então no ponto \theta=0 a fração tem limite finito e P_\theta=0. Assim o ponto (\theta,P_\theta)=(0,0) corresponde exactamente à condição inicial.
Interpretação física: esse ponto é um ponto de equilíbrio (o chamado “sleeping top”): o topo gira uniformemente sem nutação. A estabilidade desse equilíbrio (se permanece lá para pequenas perturbações) depende do sinal do termo quadrático em torno de \theta=0. Expansão em série pequena \theta\ll1 dá um termo quadrático efetivoU_{\text{eff}}(\theta)\approx \text{const} + \left(\frac{P_\psi^2}{8I_1}-\frac{M g l_{\text{cm}}}{2}\right)\theta^2 + O(\theta^4).Logo \theta=0 é estável se\frac{P_\psi^2}{8I_1}>\frac{M g l_{\text{cm}}}{2} \quad\Longrightarrow\quad P_\psi^2>4I_1 M g l_{\text{cm}}.Em termos de \omega (usando P_\psi=2I_3\omega) a condição de estabilidade linear é\omega^2>\frac{I_1 M g l_{\text{cm}}}{I_3^2}.
Aplicando os valores numéricos calculados:I_1=\frac{39}{4}MR^2,\qquad I_3=\frac{3}{10}MR^2,\qquad l_{\text{cm}}=3R,obtém-se a condição\omega^2>\frac{\frac{39}{4}MR^2\cdot M g\cdot 3R}{\left(\frac{3}{10}MR^2\right)^2} =\frac{39\cdot 3}{4}\cdot\frac{1}{(3/10)^2}\cdot\frac{g}{R} =325\frac{g}{R}.(Detalhe: os fatores M e R^2 se cancelam adequadamente nos cálculos; resta a dependência \propto g/R.)
Conclusão prática para o traçado: com exatamente as condições iniciais dadas (sem perturbação), a trajetória no espaço de fase reduzido é simplesmente o ponto fixo (\theta,P_\theta)=(0,0). Se se deseja um traçado mais interessante, deve-se perturbar ligeiramente \theta ou P_\theta; então a trajetória será uma curva de nível dada pela equação de energia acima — perto de \theta=0 será uma circunferência elíptica se a condição de estabilidade for satisfeita (pequenas oscilações do tipo harmônico), caso contrário haverá instabilidade e \theta cresce (o ponto é máximo ou sela).
Portanto o gráfico pedido: desenho do plano (\theta,P_\theta) com o ponto (0,0) marcado como trajeto (equilíbrio). Opcionalmente desenhar curvas de nível P_\theta=\pm\sqrt{2I_1(E-U_{\text{eff}}(\theta))} para o valor de energia inicial E (essas curvas reduzem a um único ponto quando E igual ao valor mínimo de U_{\text{eff}}).
(b) Momentos principais: \displaystyle I_1=I_2=\dfrac{39}{4}MR^2,\qquad I_3=\dfrac{3}{10}MR^2. Eixos principais: eixo de simetria do cone (direção z) e quaisquer dois eixos ortogonais no plano da base.
No espaço de fase reduzido (\theta,P_\theta) a trajetória correspondente é o ponto fixo (0,0). Se o estado for levemente perturbado, as curvas de nível são dadas por
\frac{P_\theta^2}{2I_1}+U_{\text{eff}}(\theta)=E, \qquad U_{\text{eff}}(\theta)=\frac{(P_\varphi-P_\psi\cos\theta)^2}{2I_1\sin^2\theta}+\frac{P_\psi^2}{2I_3}+M g l_{\text{cm}}\cos\theta,
e a estabilidade linear do ponto (0,0) exige P_\psi^2>4I_1 M g l_{\text{cm}}, ou em termos de \omega:
\omega^2>\frac{I_1 M g l_{\text{cm}}}{I_3^2}=\;325\,\frac{g}{R}.]