7.20 Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Se a carga distribuída for w=4 kip/pé, qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção a-a ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga.
  • A carga distribuída é w=4\\ \text{kip/ft}.
  • Pergunta: qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção a\!-\!a?
Informações importantes que o enunciado não forneceu (e que são necessárias para calcular numericamente a tensão de cisalhamento):
  • o comprimento do vão L (distância entre A e B);
  • a posição da seção a\!-\!a ao longo do vão (por exemplo, distância x a partir de A);
  • se a carga w atua ao longo de todo o vão ou apenas numa parte (presumo que seja ao longo de todo o vão, mas não está explícito);
  • a geometria e dimensões da seção transversal na seção a\!-\!a (forma: retangular, circular, I, etc., e dimensões: largura, altura, raios, espessuras);
  • unidades coerentes da seção (as cargas estão em kip/ft; normalmente a seção é dada em polegadas — então é preciso informação para converter unidades consistentemente).
Sem esses dados geométricos e a posição da seção, não é possível obter um valor numérico da tensão de cisalhamento máxima. A seguir eu explico passo a passo a matéria e o procedimento completo que seria usado assim que os dados impedidos fossem conhecidos.

Passo 2

O que precisamos calcular (visão geral do procedimento):
  1. Encontrar as reações verticais em A e B por equilíbrio estático.
  2. Determinar o esforço cortante V interno na seção a\!-\!a (valor numérico do esforço cortante nessa seção).
  3. Usar a relação entre V e a distribuição de tensões de cisalhamento na seção para obter a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}. Para seções genéricas a fórmula é \displaystyle \tau=\frac{V\,Q}{I\,b}; para algumas seções comuns existem fatores simplificados (por exemplo, seção retangular: \tau_{\max}=\tfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}).
Agora vou explicar cada item com calma, definindo tudo e mostrando como aplicar na prova.

Passo 3

Cálculo das reações (passo por passo):
  • Supondo que a viga é simplesmente apoiada em A e B e que w atua uniformemente ao longo de todo o vão de comprimento L, a resultante da carga é W = w L.
  • Equilíbrio vertical: \displaystyle R_A+R_B = W = wL.
  • Equilíbrio de momentos, tomando momentos em A: \displaystyle R_B\cdot L - wL\cdot\frac{L}{2}=0.
    Assim \displaystyle R_B=\frac{wL\cdot(L/2)}{L}=\frac{wL}{2}.
    Pelo equilíbrio vertical \displaystyle R_A=\frac{wL}{2}.
  • Observação rápida: para viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída sobre todo o vão, as reações são iguais: \displaystyle R_A=R_B=\frac{wL}{2}.

Passo 4

Cálculo do esforço cortante na seção a\!-\!a:
  • Defina x como a distância da extremidade em A até a seção a\!-\!a.
  • O esforço cortante interno à esquerda da seção é: \displaystyle V(x)=R_A - w x.
  • Substituindo R_A=\dfrac{wL}{2} obtemos a expressão fechada: V(x)=\frac{wL}{2}-w x = w\!\left(\frac{L}{2}-x\right).
  • Portanto, para avaliar numericamente V na seção a\!-\!a precisamos conhecer L e x.

Passo 5

Conceito e fórmula para transformar esforço cortante V em tensão de cisalhamento \tau:
  • A fórmula geral (teorema das tensões transversais) para tensão de cisalhamento numa seção plana é: \tau=\frac{V\,Q}{I\,b},onde
    • V é o esforço cortante interno na seção (unidade: força);
    • Q é o primeiro momento de área da porção da seção situada de um dos lados do nível onde se calcula \tau, em relação ao eixo neutro (unidade: área·comprimento);
    • I é o momento de inércia da seção total em relação ao eixo neutro (unidade: comprimento^4);
    • b é a largura (espessura) da seção na linha onde se avalia \tau (unidade: comprimento).
  • Explicando Q: se você quer a tensão no ponto da linha neutra, então a porção considerada para Q é toda a área acima (ou abaixo) da linha neutra até a borda; Q = (área dessa porção) × (distância do centro dessa porção ao eixo neutro).
  • Para seções comuns existem resultados diretos:
    • Seção retangular de largura b e altura h (neutra no meio): \displaystyle I=\frac{b h^{3}}{12}, \displaystyle Q=\frac{b h^{2}}{8} (para a linha neutra), e com b na fórmula resulta \tau_{\max}=\frac{VQ}{Ib}=\frac{V}{A}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A},onde A=b h. Então para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima ocorre na fibra média e vale \displaystyle \tau_{\max}=\tfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}.
    • Seção circular maciça de área A tem \displaystyle \tau_{\max}=\frac{4}{3}\frac{V}{A}.
    • Em seções em I, T, caixas etc., é preciso calcular I e Q explicitamente (ou usar tabelas) e a largura local b é a espessura da alma/aba naquele nível.
  • Observação sobre unidades: w está em \text{kip/ft}. Se as dimensões da seção estiverem em polegadas, converta tudo (por exemplo, 1\\ \text{ft}=12\\ \text{in}; 1\\ \text{kip}=1000\\ \text{lb}) antes de calcular tensões em \text{psi} ou \text{ksi}.

Passo 6

Procedimento final (resumido) que você aplicaria na prova assim que tiver os dados:
  1. Ler L e a posição x da seção a\!-\!a.
  2. Calcular R_A e R_B (para carregamento uniforme sobre todo o vão: R_A=R_B=\tfrac{wL}{2}).
  3. Calcular V na seção: \displaystyle V= w\!\left(\tfrac{L}{2}-x\right).
  4. Determinar a forma e dimensões da seção transversal em a\!-\!a; calcular A, I, e o Q relevante; identificar b na linha onde a tensão é máxima.
  5. Calcular \displaystyle \tau_{\max}=\frac{VQ}{I b} (ou usar o fator simplificado para retângulo: \tau_{\max}=\tfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} se a seção for retangular).
  6. Fazer verificação de unidades e apresentar o resultado na unidade solicitada (por exemplo, \text{psi} ou \text{ksi}).

Passo 7

Por que não posso dar um número agora:
  • A expressão simbólica acima mostra que o valor numérico de \tau_{\max} depende de L, da posição x da seção a\!-\!a e das propriedades geométricas da seção transversal ( A,I,Q,b). Esses valores não foram fornecidos nem na forma de texto nem em figura.
  • Inventar valores levaria a uma resposta numérica que pode estar errada para o exercício real do professor — e não é isso que você quer na hora da prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão de cisalhamento máxima com os dados fornecidos — faltam o comprimento do vão L, a posição da seção a\!-\!a (distância x) e a geometria/dimensões da seção transversal (necessárias para A, I, Q e b).

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