7.20 Os apoios em
e
exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Se a carga distribuída for
kip/pé, qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Os apoios em
e exercem reações verticais sobre a viga. - A carga distribuída é
. - Pergunta: qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção
?
Informações importantes que o enunciado não forneceu (e que são necessárias para calcular numericamente a tensão de cisalhamento):
- o comprimento do vão
(distância entre e ); - a posição da seção
ao longo do vão (por exemplo, distância a partir de ); - se a carga
atua ao longo de todo o vão ou apenas numa parte (presumo que seja ao longo de todo o vão, mas não está explícito); - a geometria e dimensões da seção transversal na seção
(forma: retangular, circular, I, etc., e dimensões: largura, altura, raios, espessuras); - unidades coerentes da seção (as cargas estão em kip/ft; normalmente a seção é dada em polegadas — então é preciso informação para converter unidades consistentemente).
Sem esses dados geométricos e a posição da seção, não é possível obter um valor numérico da tensão de cisalhamento máxima. A seguir eu explico passo a passo a matéria e o procedimento completo que seria usado assim que os dados impedidos fossem conhecidos.
Passo 2
O que precisamos calcular (visão geral do procedimento):
- Encontrar as reações verticais em
e por equilíbrio estático. - Determinar o esforço cortante
interno na seção (valor numérico do esforço cortante nessa seção). - Usar a relação entre
e a distribuição de tensões de cisalhamento na seção para obter a tensão de cisalhamento máxima . Para seções genéricas a fórmula é ; para algumas seções comuns existem fatores simplificados (por exemplo, seção retangular: ).
Agora vou explicar cada item com calma, definindo tudo e mostrando como aplicar na prova.
Passo 3
Cálculo das reações (passo por passo):
- Supondo que a viga é simplesmente apoiada em
e e que atua uniformemente ao longo de todo o vão de comprimento , a resultante da carga é . - Equilíbrio vertical:
- Equilíbrio de momentos, tomando momentos em
:
Assim
Pelo equilíbrio vertical. - Observação rápida: para viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída sobre todo o vão, as reações são iguais:
Passo 4
Cálculo do esforço cortante na seção
:
- Defina
como a distância da extremidade em até a seção . - O esforço cortante interno à esquerda da seção é:
- Substituindo
obtemos a expressão fechada: - Portanto, para avaliar numericamente
na seção precisamos conhecer e .
Passo 5
Conceito e fórmula para transformar esforço cortante
em tensão de cisalhamento
:
- A fórmula geral (teorema das tensões transversais) para tensão de cisalhamento numa seção plana é:
onde -
é o esforço cortante interno na seção (unidade: força); -
é o primeiro momento de área da porção da seção situada de um dos lados do nível onde se calcula , em relação ao eixo neutro (unidade: área·comprimento); -
é o momento de inércia da seção total em relação ao eixo neutro (unidade: comprimento^4); -
é a largura (espessura) da seção na linha onde se avalia (unidade: comprimento).
-
- Explicando
: se você quer a tensão no ponto da linha neutra, então a porção considerada para é toda a área acima (ou abaixo) da linha neutra até a borda; = (área dessa porção) × (distância do centro dessa porção ao eixo neutro). - Para seções comuns existem resultados diretos:
- Seção retangular de largura
e altura (neutra no meio): , (para a linha neutra), e com na fórmula resulta onde . Então para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima ocorre na fibra média e vale - Seção circular maciça de área
tem - Em seções em I, T, caixas etc., é preciso calcular
e explicitamente (ou usar tabelas) e a largura local é a espessura da alma/aba naquele nível.
- Seção retangular de largura
- Observação sobre unidades:
está em . Se as dimensões da seção estiverem em polegadas, converta tudo (por exemplo, ; ) antes de calcular tensões em ou .
Passo 6
Procedimento final (resumido) que você aplicaria na prova assim que tiver os dados:
- Ler
e a posição da seção . - Calcular
e (para carregamento uniforme sobre todo o vão: ). - Calcular
na seção: . - Determinar a forma e dimensões da seção transversal em
; calcular , , e o relevante; identificar na linha onde a tensão é máxima. - Calcular
(ou usar o fator simplificado para retângulo: se a seção for retangular). - Fazer verificação de unidades e apresentar o resultado na unidade solicitada (por exemplo,
ou ).
Passo 7
Por que não posso dar um número agora:
- A expressão simbólica acima mostra que o valor numérico de
depende de , da posição da seção e das propriedades geométricas da seção transversal ( ). Esses valores não foram fornecidos nem na forma de texto nem em figura. - Inventar valores levaria a uma resposta numérica que pode estar errada para o exercício real do professor — e não é isso que você quer na hora da prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão de cisalhamento máxima com os dados fornecidos — faltam o comprimento do vão
, a posição da seção
(distância
) e a geometria/dimensões da seção transversal (necessárias para
,
,
e
).