Um cubo de lado l=10 polegadas, feito de um metal que apresenta \sigma_{v}=150 . \varepsilon_{v}{ }^{0,3}(M p a), submetido à tensão principal máxima de 90 M p a. Sabendo que \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}=-\frac{1}{3} e \frac{\sigma_{3}}{\sigma_{1}}=-\frac{1}{2}, e que não há cisalhamento. Determine a menor dimensão que resultou após a deformação plástica.

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar tudo explicitamente):
  • Comprimento inicial do lado do cubo: l=10 polegadas.
  • Lei de escoamento (lei de encruamento) do material, relacionando tensão equivalente e deformação equivalente: \sigma_{v}=150\;\varepsilon_{v}^{0,3} (unidade: MPa).
  • A maior tensão principal vale \sigma_{1}=90\\ \text{MPa} (tensão principal máxima).
  • Relações entre as tensões principais: \dfrac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}=-\dfrac{1}{3} e \dfrac{\sigma_{3}}{\sigma_{1}}=-\dfrac{1}{2}.
  • Não há cisalhamento (logo as direções principais coincidem com as direções do cubo).
    O que é pedido:
  • Determinar a menor dimensão resultante após a deformação plástica (ou seja, o menor lado final do cubo).

Passo 2

Primeiro obtenho explicitamente as três tensões principais usando as razões fornecidas:
\sigma_{1}=90\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_{2}=-\dfrac{1}{3}\sigma_{1}=-\dfrac{1}{3}\cdot90=-30\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_{3}=-\dfrac{1}{2}\sigma_{1}=-\dfrac{1}{2}\cdot90=-45\\ \text{MPa}.

Passo 3

Calculo a tensão equivalente de von Mises \sigma_{v}. A fórmula em termos das tensões principais é
\sigma_{v}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\bigl[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\bigr]}.
Substituindo os valores:
\sigma_{1}-\sigma_{2}=90-(-30)=120, \quad \sigma_{2}-\sigma_{3}=-30-(-45)=15, \quad \sigma_{3}-\sigma_{1}=-45-90=-135.
Então
\sigma_{v}=\sqrt{\dfrac{1}{2}\bigl[120^{2}+15^{2}+(-135)^{2}\bigr]} =\sqrt{\dfrac{1}{2}\bigl[14400+225+18225\bigr]} =\sqrt{16425}\approx128{,}15\\ \text{MPa}.

Passo 4

Usando a lei de encruamento \sigma_{v}=150\;\varepsilon_{v}^{0,3}, obtenho a deformação equivalente \varepsilon_{v} invertendo a relação:
\varepsilon_{v}=\left(\dfrac{\sigma_{v}}{150}\right)^{1/0{,}3} =\left(\dfrac{128{,}15}{150}\right)^{\!10/3} =\left(0{,}8543\right)^{3{,}333\ldots}\approx0{,}5907.
Logo a deformação equivalente von Mises é \varepsilon_{v}\approx0{,}5907.

Passo 5

Agora preciso relacionar a deformação equivalente \varepsilon_{v} com as deformações principais \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}.
Do comportamento plástico com regra de fluxo associada (fluência de von Mises) vem que os incrementos de deformação plástica são proporcionais às componentes desviatórias da tensão. Assim, para carregamento proporcional, as deformações plásticas principais têm as mesmas razões entre si que as tensões desviatórias s_{i}=\sigma_{i}-\bar{\sigma}, onde \bar{\sigma} é a tensão média:
\bar{\sigma}=\dfrac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}}{3}.
Calculo \bar{\sigma}:
\bar{\sigma}=\dfrac{90+(-30)+(-45)}{3}=\dfrac{15}{3}=5\\ \text{MPa}.
As tensões desviatórias ficam
s_{1}=90-5=85\\ \text{MPa},\quad s_{2}=-30-5=-35\\ \text{MPa},\quad s_{3}=-45-5=-50\\ \text{MPa}.
Logo as deformações plásticas principais são proporcionais a 85:-35:-50.

Passo 6

Defino uma constante C tal que
\varepsilon_{i}^{p}=C\,s_{i}\quad(i=1,2,3).
Para a definição da deformação equivalente von Mises, quando as deformações plásticas satisfazem \varepsilon_{1}^{p}+\varepsilon_{2}^{p}+\varepsilon_{3}^{p}=0 (incompressibilidade plástica), a expressão é
\varepsilon_{v}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\bigl[(\varepsilon_{1}^{p})^{2}+(\varepsilon_{2}^{p})^{2}+(\varepsilon_{3}^{p})^{2}\bigr]}.
Substituindo \varepsilon_{i}^{p}=C s_{i} obtemos
\varepsilon_{v}=C\sqrt{\dfrac{2}{3}\bigl[s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\bigr]}.
Calculo s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}=85^{2}+(-35)^{2}+(-50)^{2}=7225+1225+2500=10950.
Então
\varepsilon_{v}=C\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot10950}=C\sqrt{7300}=C\cdot85{,}440\ldots
Isolando C:
C=\dfrac{\varepsilon_{v}}{\sqrt{7300}}=\dfrac{0{,}5907}{85{,}440}\approx0{,}006914.

Passo 7

Agora obtenho explicitamente as deformações principais (plásticas, aqui assumidas como verdadeiras/ logarítmicas acumuladas):
\varepsilon_{1}=C\cdot85\approx0{,}006914\cdot85\approx0{,}5877,
\varepsilon_{2}=C\cdot(-35)\approx-0{,}006914\cdot35\approx-0{,}2420,
\varepsilon_{3}=C\cdot(-50)\approx-0{,}006914\cdot50\approx-0{,}3457.
Verificação rápida: \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\approx0{,}5877-0{,}2420-0{,}3457\approx0, compatível com incompressibilidade plástica.

Passo 8

Para deformações verdadeiras (logarítmicas), a relação entre comprimento final l_{f} e inicial l_{0} é
l_{f}=l_{0}\,e^{\varepsilon}.
Queremos a menor dimensão final; isso corresponde à direção com maior deformação negativa (mais contraída), que é \varepsilon_{3}=-0{,}3457. Então
l_{3,f}=10\;e^{-0{,}3457}\\ \text{polegadas}.
Calculo numérico:
e^{-0{,}3457}\approx0{,}7076\quad\Rightarrow\quad l_{3,f}\approx10\cdot0{,}7076\approx7{,}08\\ \text{polegadas}.

Resposta

7{,}08\\ \text{polegadas}

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