9.20 In a dielectric ( \sigma=10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=4.5 ), the conduction current density is given as J_{c}=0.4 \cos \left(2 \pi \times 10^{8} t\right) \mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}. Determine the displacement current density.

Passo 1

O enunciado dá uma dielétrica com as propriedades:
\sigma = 10^{-4}\\ \mathrm{S/m},\qquad \mu_r = 1,\qquad \varepsilon_r = 4{,}5
e informa a densidade de corrente de condução dependente do tempo:
J_c(t)=0{,}4\cos\!\bigl(2\pi\times10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{A/m^{2}}.
A pergunta é: determinar a densidade de corrente de deslocamento (displacement current density) J_d(t).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • A lei de Ohm local para meios homogêneos relaciona a densidade de corrente de condução J_c com o campo elétrico E:
J_c=\sigma E,
onde \sigma é a condutividade elétrica (unidade \mathrm{S/m}). Aqui J_c e E são funções do tempo.
  • A densidade de deslocamento elétrica D é dada por
D=\varepsilon E,
onde \varepsilon é a permissividade do material. Para um dielétrico linear isotrópico,
\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0,
com \varepsilon_0 a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}) e \varepsilon_r a constante dielétrica relativa.
  • A densidade de corrente de deslocamento (aquela que aparece no termo \partial D/\partial t de Maxwell) é
J_d=\frac{\partial D}{\partial t}.
Ou seja, J_d mede a taxa de variação temporal do vetor D.

Passo 3

Relacionando as fórmulas acima: a partir de J_c=\sigma E temos
E=\frac{J_c}{\sigma}.
Substituindo em D=\varepsilon E obtemos
D=\varepsilon\frac{J_c}{\sigma}=\frac{\varepsilon}{\sigma}J_c.
Agora derivamos no tempo para obter J_d:
J_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{\sigma}\frac{\partial J_c}{\partial t}.
Portanto, para este problema podemos calcular J_d obtendo a derivada temporal de J_c e multiplicando por \varepsilon/\sigma.

Passo 4

Calcule a derivada temporal de J_c(t). Defina \omega=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}. Temos
J_c(t)=0{,}4\cos(\omega t)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial J_c}{\partial t}=-0{,}4\,\omega\sin(\omega t).

Passo 5

Agora substituímos em J_d=\dfrac{\varepsilon}{\sigma}\dfrac{\partial J_c}{\partial t}. Usando \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0,
J_d(t)=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}\bigl(-0{,}4\,\omega\sin(\omega t)\bigr) = -\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}\,0{,}4\,\omega\sin(\omega t).

Passo 6

Colocando os valores numéricos:
\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad \varepsilon_r=4{,}5,\qquad \sigma=10^{-4}\\ \mathrm{S/m},
\omega=2\pi\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
Calculemos o fator \dfrac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}\,0{,}4\,\omega:
\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}= \frac{4{,}5\cdot 8{,}854\times10^{-12}}{10^{-4}} =3{,}9843845\times10^{-7}\\ \mathrm{(SI)}.
Multiplicando por 0{,}4:
3{,}9843845\times10^{-7}\cdot0{,}4=1{,}5937538\times10^{-7}.
Multiplicando por \omega=2\pi\times10^{8}\approx6{,}2831853\times10^{8}:
1{,}5937538\times10^{-7}\cdot6{,}2831853\times10^{8}\approx 100{,}14.
Portanto o fator numérico é aproximadamente 100{,}14.

Passo 7

Juntando o sinal (derivada deu um negativo) e a dependência temporal em \sin(\omega t), obtemos:
J_d(t)\approx -100{,}14\sin\!\bigl(2\pi\times10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Em forma simbólica exata (antes de arredondar), podemos escrever:
J_d(t)=-\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}\,0{,}4\,(2\pi\times10^{8})\sin\!\bigl(2\pi\times10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Resposta

J_d(t)=-\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0}{\sigma}\,0{,}4\,(2\pi\times10^{8})\sin\!\bigl(2\pi\times10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{A/m^{2}}
J_d(t)\approx -100{,}14\sin\!\bigl(2\pi\times10^{8}\,t\bigr)\\ \mathrm{A/m^{2}}

Exercícios relacionados