9.20 In a dielectric (
), the conduction current density is given as
. Determine the displacement current density.
Passo 1
O enunciado dá uma dielétrica com as propriedades:
e informa a densidade de corrente de condução dependente do tempo:
A pergunta é: determinar a densidade de corrente de deslocamento (displacement current density)
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
- A lei de Ohm local para meios homogêneos relaciona a densidade de corrente de condução
com o campo elétrico :
onde
é a condutividade elétrica (unidade
). Aqui
e
são funções do tempo.
- A densidade de deslocamento elétrica
é dada por
onde
é a permissividade do material. Para um dielétrico linear isotrópico,
com
a permissividade do vácuo (
) e
a constante dielétrica relativa.
- A densidade de corrente de deslocamento (aquela que aparece no termo
de Maxwell) é
Ou seja,
mede a taxa de variação temporal do vetor
.
Passo 3
Relacionando as fórmulas acima: a partir de
temos
Substituindo em
obtemos
Agora derivamos no tempo para obter
:
Portanto, para este problema podemos calcular
obtendo a derivada temporal de
e multiplicando por
.
Passo 4
Calcule a derivada temporal de
. Defina
. Temos
Passo 5
Agora substituímos em
. Usando
,
Passo 6
Colocando os valores numéricos:
Calculemos o fator
:
Multiplicando por
:
Multiplicando por
:
Portanto o fator numérico é aproximadamente
.
Passo 7
Juntando o sinal (derivada deu um negativo) e a dependência temporal em
, obtemos:
Em forma simbólica exata (antes de arredondar), podemos escrever: