9.19 Assume that dry soil has \sigma=10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=3 \varepsilon_{\mathrm{o}}, and \mu=\mu_{\mathrm{o}}. Determine the frequency at which the ratio of the magnitudes of the conduction current density and the displacement current density is unity.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
\sigma = 10^{-4}\\ \mathrm{S/m},
\varepsilon = 3\varepsilon_{0},
\mu = \mu_{0}.
Pergunta:
Determine a frequência f em que a razão entre as magnitudes da densidade de corrente de condução e da densidade de corrente de deslocamento é igual a 1, isto é,
\frac{|\mathbf{J}_{\text{cond}}|}{|\mathbf{J}_{\text{disp}}|}=1.

Passo 2

Vamos escrever as expressões para as duas densidades de corrente relevantes e explicar o que cada símbolo representa.
  • A densidade de corrente de condução é dada por
\mathbf{J}_{\text{cond}}=\sigma\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade (em \mathrm{S/m}) e \mathbf{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}). Em magnitude:
|\mathbf{J}_{\text{cond}}|=\sigma\,|\mathbf{E}|.
  • A densidade de corrente de deslocamento surge de \partial\mathbf{D}/\partial t. Para um meio linear isotrópico com \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e assumindo um campo elétrico harmônico no tempo \mathbf{E}(t)=\mathbf{E}_0 e^{j\omega t}, temos, no domínio fasorial,
\mathbf{J}_{\text{disp}}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=j\omega\varepsilon\mathbf{E}.
A magnitude é
|\mathbf{J}_{\text{disp}}|=\omega\varepsilon\,|\mathbf{E}|.
Aqui \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f), \varepsilon é a permissividade do meio (em \mathrm{F/m}), e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 3

Formamos a razão das magnitudes:
\frac{|\mathbf{J}_{\text{cond}}|}{|\mathbf{J}_{\text{disp}}|} =\frac{\sigma\,|\mathbf{E}|}{\omega\varepsilon\,|\mathbf{E}|} =\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.
As magnitudes de |\mathbf{E}| se cancelam, o que é conveniente porque a frequência procurada não depende da amplitude do campo elétrico.
Queremos essa razão igual a 1, então impomos
\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=1.
Isolando \omega,
\omega=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Como \omega=2\pi f, obtemos a frequência procurada:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \varepsilon:
\varepsilon = 3\varepsilon_{0}=3\cdot 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}=2,6562563451\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Em seguida calculamos
f=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon} =\frac{10^{-4}}{2\pi\cdot 2,6562563451\times10^{-11}}\\ \mathrm{Hz}.
Calculemos o denominador explicitamente (mostrando a ideia do cálculo manual):
2\pi\varepsilon \approx 6,283185307\cdot 2,6562563451\times10^{-11}\approx 1,66897\times10^{-10}.
Portanto
f\approx\frac{10^{-4}}{1,66897\times10^{-10}}\\ \mathrm{Hz}\approx 5,99\times10^{5}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Interpretação curta (para você memorizar na prova): abaixo dessa frequência a corrente de condução domina (razão >1), e acima dessa frequência a corrente de deslocamento domina (razão <1). No nosso caso a transição ocorre em torno de algumas centenas de kHz, então para sinais de rádio de baixa frequência a parte resistiva do solo é importante.

Resposta

f \approx 5,99\times10^{5}\\ \mathrm{Hz}\\ (\approx 599\\ \mathrm{kHz})

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