9.19 Assume that dry soil has
, and
. Determine the frequency at which the ratio of the magnitudes of the conduction current density and the displacement current density is unity.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
Pergunta:
Determine a frequência em que a razão entre as magnitudes da densidade de corrente de condução e da densidade de corrente de deslocamento é igual a 1, isto é,
Determine a frequência
Passo 2
Vamos escrever as expressões para as duas densidades de corrente relevantes e explicar o que cada símbolo representa.
- A densidade de corrente de condução é dada por
onde
é a condutividade (em
) e
é o campo elétrico (em
). Em magnitude:
- A densidade de corrente de deslocamento surge de
. Para um meio linear isotrópico com e assumindo um campo elétrico harmônico no tempo , temos, no domínio fasorial,
A magnitude é
Aqui
é a frequência angular (
),
é a permissividade do meio (em
), e
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 3
Formamos a razão das magnitudes:
As magnitudes de
se cancelam, o que é conveniente porque a frequência procurada não depende da amplitude do campo elétrico.
Queremos essa razão igual a 1, então impomos
Isolando
,
Como
, obtemos a frequência procurada:
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos
:
Em seguida calculamos
Calculemos o denominador explicitamente (mostrando a ideia do cálculo manual):
Portanto
Passo 5
Interpretação curta (para você memorizar na prova): abaixo dessa frequência a corrente de condução domina (razão
), e acima dessa frequência a corrente de deslocamento domina (razão
). No nosso caso a transição ocorre em torno de algumas centenas de kHz, então para sinais de rádio de baixa frequência a parte resistiva do solo é importante.