Considere uma casca esférica (de espessura desprezível) contendo uma quantidade de carga Q.
a) Use o conceito de auto-energia e calcule-a para a casca esférica da questão.
b) A densidade de energia (energia por unidade de volume) u é dada por u=\frac{\epsilon_{0}}{2} E^{2}. Calcule a energia presente no campo elétrico gerado pela casca esférica e compare com o resultado anterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em uma casca esférica de raio R e carga total Q (espessura desprezível):
  1. (a) Calcular a auto-energia (energia necessária para montar essa distribuição de carga) usando o conceito de trabalho para agregar carga.
  2. (b) Calcular a energia do campo elétrico usando a densidade de energia u=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2} e comparar com o item (a).
Informações dadas e que vamos usar:
  • A casca é esférica, raio R, carga total \,Q.
  • A casca tem espessura desprezível (isto é, carga localizada na superfície).
  • A densidade de energia do campo é \,u=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}.
  • O campo elétrico gerado por uma casca esférica carregada é igual ao de uma carga pontual Q para r\ge R e é nulo para r<R. (Vamos usar isso explicitamente ao calcular o campo.)

Passo 2

Vamos resolver (a) — conceito de auto-energia por montagem incremental da carga.
Ideia física e fórmula usada:
  • Imagine começar com nenhuma carga e ir trazendo pedaços infinitesimais de carga \,dq até colocá-los na casca, mantendo-a sempre esférica. Se já existe uma carga q acumulada na casca, a potencial elétrico sobre a superfície (devida a essa carga q) vale
V(q)=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}R},
porque a superfície de uma casca esférica de raio R tem potencial igual ao de uma carga pontual q localizada no centro. Aqui \,V é o potencial elétrico (em volts), \,q é a carga já presente, \,\epsilon_{0} é a permissividade do vácuo e \,R é o raio fixo da casca.
Trabalho para agregar um pedaço \,dq:
  • O trabalho necessário para trazer um pedaço de carga infinitesimal \,dq desde o infinito até a superfície, quando já existe carga q, é
dW=V(q)\,dq=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}R}\,dq.
Integrando para montar toda a carga Q:
  • Inicialmente q=0, no final q=Q. Assim a energia total U (auto-energia) é
U=\int_{0}^{Q}\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}R}\,dq.
  • Calcule a integral:
U=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}R}\int_{0}^{Q} q\,dq=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}R}\cdot\frac{Q^{2}}{2}.
  • Portanto
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}.
Comentário curto sobre interpretação: esse é o trabalho total gasto para montar a casca carregada juntando cargas infinitesimais, assumindo que as cargas são trazidas de muito longe sem dissipações.

Passo 3

Agora (b) — calcular a energia do campo a partir da densidade u=\dfrac{\epsilon_{0}}{2}E^{2} e verificar que dá o mesmo resultado.
Primeiro: campo elétrico gerado pela casca esférica:
  • Para r\ge R (fora da casca) o campo é igual ao de uma carga pontual Q no centro:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\quad (r\ge R).
  • Para r<R (dentro da casca, já que é de espessura desprezível) temos
E(r)=0\quad (r<R).
Aqui r é a distância radial ao centro da casca.
Segundo: expressão da energia total via densidade de energia:
  • A energia total armazenada no campo é a integral da densidade u por todo o espaço:
U=\int_{\text{todo espaço}} u\,dV=\int_{\text{todo espaço}}\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}\,dV.çç
  • Como E=0 para r<R, a integral não contribui dentro da casca; só precisamos integrar de r=R até r=\infty. Em coordenadas esféricas o volume elementar é dV=4\pi r^{2}dr. Então
U=\int_{R}^{\infty}\frac{\epsilon_{0}}{2}\,E(r)^{2}\,4\pi r^{2}\,dr.
Terceiro: substituir E(r) e simplificar:
  • Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} obtemos
E(r)^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\epsilon_{0}^{2}r^{4}}.
  • Então
\frac{\epsilon_{0}}{2}E(r)^{2}=\frac{\epsilon_{0}}{2}\cdot\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\epsilon_{0}^{2}r^{4}}=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\epsilon_{0}r^{4}}.
  • Multiplicando pelo 4\pi r^{2} do elemento de volume:
\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}\,4\pi r^{2}=\frac{Q^{2}}{32\pi^{2}\epsilon_{0}r^{4}}\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}.
Quarto: integrar em r de R a \infty:
U=\int_{R}^{\infty}\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}\,dr=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{\infty}=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{R}.
Portanto
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}.

Passo 4

Comparação e interpretação final:
  • Os dois métodos deram exatamente o mesmo valor:
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}.
  • Física por trás: o trabalho para montar a distribuição de cargas é armazenado no campo elétrico; integrar a densidade de energia do campo recupera o trabalho realizado. Isso confirma a consistência entre a noção de potencial (energia de interação) e a noção local de energia do campo.

Resposta

(a) U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}\n(b) U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}

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