Considere uma casca esférica (de espessura desprezível) contendo uma quantidade de carga
.
a) Use o conceito de auto-energia e calcule-a para a casca esférica da questão.
b) A densidade de energia (energia por unidade de volume)
é dada por
. Calcule a energia presente no campo elétrico gerado pela casca esférica e compare com o resultado anterior.
a) Use o conceito de auto-energia e calcule-a para a casca esférica da questão.
b) A densidade de energia (energia por unidade de volume)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, em uma casca esférica de raio
e carga total
(espessura desprezível):
- (a) Calcular a auto-energia (energia necessária para montar essa distribuição de carga) usando o conceito de trabalho para agregar carga.
- (b) Calcular a energia do campo elétrico usando a densidade de energia
e comparar com o item (a).
Informações dadas e que vamos usar:
- A casca é esférica, raio
, carga total . - A casca tem espessura desprezível (isto é, carga localizada na superfície).
- A densidade de energia do campo é
. - O campo elétrico gerado por uma casca esférica carregada é igual ao de uma carga pontual
para e é nulo para . (Vamos usar isso explicitamente ao calcular o campo.)
Passo 2
Vamos resolver (a) — conceito de auto-energia por montagem incremental da carga.
Ideia física e fórmula usada:
- Imagine começar com nenhuma carga e ir trazendo pedaços infinitesimais de carga
até colocá-los na casca, mantendo-a sempre esférica. Se já existe uma carga acumulada na casca, a potencial elétrico sobre a superfície (devida a essa carga ) vale
porque a superfície de uma casca esférica de raio
tem potencial igual ao de uma carga pontual
localizada no centro. Aqui
é o potencial elétrico (em volts),
é a carga já presente,
é a permissividade do vácuo e
é o raio fixo da casca.
Trabalho para agregar um pedaço
:
- O trabalho necessário para trazer um pedaço de carga infinitesimal
desde o infinito até a superfície, quando já existe carga , é
Integrando para montar toda a carga
:
- Inicialmente
, no final . Assim a energia total (auto-energia) é
- Calcule a integral:
- Portanto
Comentário curto sobre interpretação: esse é o trabalho total gasto para montar a casca carregada juntando cargas infinitesimais, assumindo que as cargas são trazidas de muito longe sem dissipações.
Passo 3
Agora (b) — calcular a energia do campo a partir da densidade
e verificar que dá o mesmo resultado.
Primeiro: campo elétrico gerado pela casca esférica:
- Para
(fora da casca) o campo é igual ao de uma carga pontual no centro:
- Para
(dentro da casca, já que é de espessura desprezível) temos
Aqui
é a distância radial ao centro da casca.
Segundo: expressão da energia total via densidade de energia:
- A energia total armazenada no campo é a integral da densidade
por todo o espaço:
- Como
para , a integral não contribui dentro da casca; só precisamos integrar de até . Em coordenadas esféricas o volume elementar é . Então
Terceiro: substituir
e simplificar:
- Substituindo
obtemos
- Então
- Multiplicando pelo
do elemento de volume:
Quarto: integrar em
de
a
:
Portanto
Passo 4
Comparação e interpretação final:
- Os dois métodos deram exatamente o mesmo valor:
- Física por trás: o trabalho para montar a distribuição de cargas é armazenado no campo elétrico; integrar a densidade de energia do campo recupera o trabalho realizado. Isso confirma a consistência entre a noção de potencial (energia de interação) e a noção local de energia do campo.
Resposta
(a)
\n(b)