2- (20) Uma empresa de alimentos precisa resfriar rapidamente garrafas cilíndricas de suco aquecido a 85^circ C, antes do envase. As garrafas, feitas de vidro com 6 mm de espessura e diâmetro interno de 6 cm , são colocadas em uma câmara onde a temperatura do ar é mantida a 5^circ C, com coeficiente de convecção h=40 W / m^2 K. O vidro possui condutividade térmica k=1,2 W / m K, calor específico cp =840 J / kg K, e massa específica rho=2500 kg / m^3. A empresa deseja saber se pode aplicar o método da capacitância global para prever a variação de temperatura do vidro ao longo do tempo. Verifique se o método da capacitância global pode ser utilizado, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado descreve uma garrafa cilíndrica de vidro (espessura 6rm,mm, diâmetro interno 6rm,cm) inicialmente a 85^circ!C colocada em ar a 5^circ!C com coeficiente de convecção h=40rm,W/m^2K. O vidro tem k=1,2rm,W/mK, cp=840rm,J/kgK e rho=2500rm,kg/m^3. Queremos verificar se podemos usar o método da capacitância global (MGC), cujo critério é o número de Biot Bi<0,1.

Passo 2

O número de Biot para transferência de calor por convecção na superfície externa do vidro é
Bi=h,Lck,
onde Lc é o comprimento característico do sólido: razão entre seu volume e a área de convecção.

Passo 3

Para um cilindro fino de vidro de comprimento L, raio interno Ri=0,03rm,m e espessura t=0,006rm,m, o raio externo é Re=Ri+t=0,036rm,m.
Volume do vidro:
V=pil(Re^2-Ri^2r)L
Área externa de convecção:
A=;2pi,Re,L
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Lc=VA =pil(Re^2-Ri^2r)L2pi,Re,L =Re^2-Ri^22,Re =0,036^2-0,03^22cdot0,036rm;m =0,00275;mapprox2,75;mm

Passo 4

Substituindo em Bi:
Bi =40;rm W/m^2Ktimes0,00275;rm m1,2;rm W/mK approx0,092
Como o critério do MGC exige Bi<0,1, temos Biapprox0,092, que satisfaz a condição.

Passo 5

Portanto, a distribuição de temperatura no vidro pode ser considerada aproximadamente uniforme e o método da capacitância global é aplicável.

Resposta

A aplicação do método da capacitância global é válida, pois Biapprox0,092<0,1.

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