(20) Explique as principais diferenças entre o método da capacitância global e a solução analítica da equação da condução para sólidos infinitos.
Em quais situações práticas cada abordagem é mais apropriada, e por quê?

Passo 1

O enunciado pede para a gente entender as diferenças entre o método da capacitância global (também chamado de modelo de massa concentrada ou lumped capacitance) e a solução analítica da equação de condução de calor para sólidos infinitos (ou semi-infinitos).
O conteúdo envolve transferência de calor transiente: no primeiro caso reduzimos tudo a uma única equação ordinária, e no segundo resolvemos a equação em derivadas parciais para domínios ilimitados. Vamos precisar conhecer a condição de validade (número de Biot), as hipóteses de uniformidade de temperatura, e a forma das soluções em cada abordagem.

Passo 2

No método da capacitância global supõe-se que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em cada instante. Com isso a energia acumulada m c , dT equilibra‐se com a troca pela superfície:
m c,dTdt = h Al(Tinfty-T(t)r)
Separando e integrando dá
T(t)-TinftyTi-Tinfty =exp!l(-h Am c,tr) =exp!l(-t/taur),
onde tau = tfracm ch A. A validade desse modelo exige que o gradiente interno de temperatura seja desprezível, o que geralmente se traduz em
Bi = h Lck < 0,1,
com Lc comprimento característico e k condutividade térmica.

Passo 3

Na solução analítica para semi-infinito resolvemos a equação de condução
com condição inicial e condição de contorno na superfície (por exemplo, ou convecção). Para o caso de temperatura de superfície mantida em , a solução é
mostrando como varia com e . Aqui não há necessidade de , pois capturamos o gradiente interno.

Passo 4

As principais diferenças são:
bul<=t No modelo de capacitância global reduzimos à ODE em T(t) sob hipótese de temperatura uniforme; na solução analítica tratamos a EDP em (x,t) e obtemos perfis de temperatura.
bul<=t O método global é simples e rápido, mas só vale se Bill1. A solução analítica é mais trabalhosa (uso de funções de erro, séries, integrais), mas válida para qualquer Bi e para geometria de sólido infinito ou semi-infinito.
bul<=t Global dá a temperatura média; analítica dá temperatura local.

Passo 5

Na prática o método da capacitância global é adequado para corpos com alta condutividade (metais finos, peças miúdas, eletrônicos), onde Bi<0,1. Já a solução analítica para semi-infinito é indicada em processos de têmpera de eixos ou chapas grossas, resfriamento de solos ou paredes de túnel, injeção de fluidos em reservatórios, onde ocorrem grandes gradientes próximos à superfície e o domínio pode ser tratado como “infinito”.

Resposta

O método da capacitância global assume temperatura uniforme e leva a uma equação exponencial simples, válido quando Bi<0,1. A solução analítica da equação de condução para sólidos (semi-)infinitos resolve a EDP completa, fornece perfis de temperatura em x, e é usada sempre que surgem gradientes internos acentuados (caso em que Bi pode ser grande ou o domínio ser efetivamente infinito).

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