(20) Explique as principais diferenças entre o método da capacitância global e a solução analítica da equação da condução para sólidos infinitos.
Em quais situações práticas cada abordagem é mais apropriada, e por quê?
Em quais situações práticas cada abordagem é mais apropriada, e por quê?
Passo 1
O enunciado pede para a gente entender as diferenças entre o método da capacitância global (também chamado de modelo de massa concentrada ou lumped capacitance) e a solução analítica da equação de condução de calor para sólidos infinitos (ou semi-infinitos).
O conteúdo envolve transferência de calor transiente: no primeiro caso reduzimos tudo a uma única equação ordinária, e no segundo resolvemos a equação em derivadas parciais para domínios ilimitados. Vamos precisar conhecer a condição de validade (número de Biot), as hipóteses de uniformidade de temperatura, e a forma das soluções em cada abordagem.
O conteúdo envolve transferência de calor transiente: no primeiro caso reduzimos tudo a uma única equação ordinária, e no segundo resolvemos a equação em derivadas parciais para domínios ilimitados. Vamos precisar conhecer a condição de validade (número de Biot), as hipóteses de uniformidade de temperatura, e a forma das soluções em cada abordagem.
Passo 2
No método da capacitância global supõe-se que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em cada instante. Com isso a energia acumulada
equilibra‐se com a troca pela superfície:
Separando e integrando dá
onde
. A validade desse modelo exige que o gradiente interno de temperatura seja desprezível, o que geralmente se traduz em
com
comprimento característico e
condutividade térmica.
Passo 3
Na solução analítica para semi-infinito resolvemos a equação de condução
com condição inicial
e condição de contorno na superfície
(por exemplo,
ou convecção). Para o caso de temperatura de superfície mantida em
, a solução é
mostrando como
varia com
e
. Aqui não há necessidade de
, pois capturamos o gradiente interno.
Passo 4
As principais diferenças são:
No modelo de capacitância global reduzimos à ODE em
sob hipótese de temperatura uniforme; na solução analítica tratamos a EDP em
e obtemos perfis de temperatura.
O método global é simples e rápido, mas só vale se
. A solução analítica é mais trabalhosa (uso de funções de erro, séries, integrais), mas válida para qualquer
e para geometria de sólido infinito ou semi-infinito.
Global dá a temperatura média; analítica dá temperatura local.
Passo 5
Na prática o método da capacitância global é adequado para corpos com alta condutividade (metais finos, peças miúdas, eletrônicos), onde
. Já a solução analítica para semi-infinito é indicada em processos de têmpera de eixos ou chapas grossas, resfriamento de solos ou paredes de túnel, injeção de fluidos em reservatórios, onde ocorrem grandes gradientes próximos à superfície e o domínio pode ser tratado como “infinito”.
Resposta
O método da capacitância global assume temperatura uniforme e leva a uma equação exponencial simples, válido quando
. A solução analítica da equação de condução para sólidos (semi-)infinitos resolve a EDP completa, fornece perfis de temperatura em
, e é usada sempre que surgem gradientes internos acentuados (caso em que
pode ser grande ou o domínio ser efetivamente infinito).