3- (20) Considere um sólido semi-infinito submetido a uma mudança repentina de temperatura na superfície. Com base na solução analítica para essa condição, explique:
a) (10) Por que a temperatura do interior do sólido se mantém inalterada nos primeiros instantes?
b) (10) Como a profundidade da frente térmica varia com o tempo?

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor em um sólido semi-infinito (eixo x>=0) que, para t<0, estava à temperatura uniforme inicial ,Ti. No instante t=0 a face x=0 sofre uma mudança súbita para a temperatura constante Ts e permanece assim para t>0. O conteúdo é a equação de difusão unidimensional e a solução analítica em termos da função erro complementária. Vamos usar essa solução para responder (a) por que o interior não percebe a mudança nos instantes iniciais e (b) como cresce a profundidade da frente térmica com o tempo.

Passo 2

A solução exata para o perfil de temperatura em um semi-infinito submetido a mudança súbita de superfície é
T(x,t) = Ti + l(Ts - Tir),erfc!l(x2raizalpha,tr),
onde alpha é a difusividade térmica do material e
erfc(z)=1-erf(z).

Passo 3

Para qualquer ponto fixo x>0, nos instantes iniciais tto0^+ temos
x2raizalpha,t;to;+infty Longrightarrow erfc!l(tfracx2raizalpha,tr);to;0
Logo,
T(x,t);approx;Ti para t muito pequeno,
ou seja, o interior do sólido não sente a mudança de temperatura na superfície porque a onda térmica ainda não teve tempo de difundir até lá.

Passo 4

Para definir a “profundidade da frente térmica” ,xf(t) podemos escolher um critério de desvio em relação a Ti, por exemplo o ponto onde
erfc!l(tfracxf2raizalpha,tr)
assume um valor fixo (digamos 0,5 ou outro). Isso equivale a manter
xf2raizalpha,t=eta(constante),
portanto
xf(t) = 2,eta,raizalpha,t ;propto;raizt
Na prática dizemos que a profundidade de penetração térmica cresce como a raiz quadrada do tempo.

Resposta

a) Porque a solução analítica mostra que, para tto0^+, o argumento da erfc fica muito grande e esta tende a zero, mantendo T(x,t)approx Ti no interior.
b) A profundidade de penetração térmica cresce proporcionalmente a raizalpha,t, ou seja, xfproptoraizt.

Exercícios relacionados