3- (20) Considere um sólido semi-infinito submetido a uma mudança repentina de temperatura na superfície. Com base na solução analítica para essa condição, explique:
a) (10) Por que a temperatura do interior do sólido se mantém inalterada nos primeiros instantes?
b) (10) Como a profundidade da frente térmica varia com o tempo?
a) (10) Por que a temperatura do interior do sólido se mantém inalterada nos primeiros instantes?
b) (10) Como a profundidade da frente térmica varia com o tempo?
Passo 1
O enunciado trata de condução de calor em um sólido semi-infinito (eixo
) que, para
, estava à temperatura uniforme inicial
. No instante
a face
sofre uma mudança súbita para a temperatura constante
e permanece assim para
. O conteúdo é a equação de difusão unidimensional e a solução analítica em termos da função erro complementária. Vamos usar essa solução para responder (a) por que o interior não percebe a mudança nos instantes iniciais e (b) como cresce a profundidade da frente térmica com o tempo.
Passo 2
A solução exata para o perfil de temperatura em um semi-infinito submetido a mudança súbita de superfície é
onde
é a difusividade térmica do material e
.
Passo 3
Para qualquer ponto fixo
, nos instantes iniciais
temos
Logo,
ou seja, o interior do sólido não sente a mudança de temperatura na superfície porque a onda térmica ainda não teve tempo de difundir até lá.
Passo 4
Para definir a “profundidade da frente térmica”
podemos escolher um critério de desvio em relação a
, por exemplo o ponto onde
assume um valor fixo (digamos ou outro). Isso equivale a manter
assume um valor fixo (digamos
portanto
Na prática dizemos que a profundidade de penetração térmica cresce como a raiz quadrada do tempo.
Resposta
a) Porque a solução analítica mostra que, para
, o argumento da
fica muito grande e esta tende a zero, mantendo
no interior.
b) A profundidade de penetração térmica cresce proporcionalmente a , ou seja,
.
b) A profundidade de penetração térmica cresce proporcionalmente a