2- (20) Uma empresa de alimentos precisa resfriar rapidamente garrafas cilíndricas de suco aquecido a 85^{\circ} \mathrm{C}, antes do envase. As garrafas, feitas de vidro com 6 mm de espessura e diâmetro interno de 6 cm , são colocadas em uma câmara onde a temperatura do ar é mantida a 5{ }^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de convecção h=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}. O vidro possui condutividade térmica k=1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, calor específico cp =840 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, e massa específica \rho=2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3. A empresa deseja saber se pode aplicar o método da capacitância global para prever a variação de temperatura do vidro ao longo do tempo. Verifique se o método da capacitância global pode ser utilizado, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique se é possível usar o método da capacitância global (método de corpo lumped) para prever a variação de temperatura do vidro da garrafa. Informações fornecidas (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Temperatura inicial do vidro: 85^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar da câmara: 5^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção externo: h=40\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Espessura do vidro: t=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro interno da garrafa: D_i=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m} → raio interno r_i=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo: r_o = r_i + t = 0{,}03 + 0{,}006 = 0{,}036\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do vidro: k=1{,}2\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
  • Calor específico do vidro: c_p=840\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Massa específica do vidro: \rho=2500\\ \mathrm{kg/m^3}.
O que devo responder: verificar se o método da capacitância global pode ser utilizado, e justificar.

Passo 2

Conceito e critério do método da capacitância global (explicação didática):
  • O método da capacitância global (lumped capacitance) assume que o corpo tem temperatura uniforma no seu volume durante o transiente térmico; isto é, as resistências internas por condução são desprezíveis em relação à resistência de convecção na superfície.
  • Para avaliar essa hipótese usa-se o número de Biot, definido por
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde:
  • h é o coeficiente de transferência convectiva entre superfície e fluido ( \mathrm{W/(m^2K)});
  • k é a condutividade térmica do sólido ( \mathrm{W/(m\,K)});
  • L_c é o comprimento característico térmico do corpo, normalmente definido como
L_c=\frac{V}{A},
com V volume do sólido e A área de troca convectiva.
  • Regra prática (critério padrão): o método lumped é considerado aceitável quando \mathrm{Bi}\lesssim 0,1. Esse limite garante que gradientes de temperatura internos sejam pequenos (erro típico aceitável de poucos por cento). Se \mathrm{Bi}>0{,}1, não se pode garantir uniformidade de temperatura interna e deve-se resolver a equação transiente de condução (solução analítica ou numérica) em vez do modelo lumped.

Passo 3

Determinar L_c para a parede cilíndrica (mostrando como obter V e A; suponho que a troca convectiva ocorra pela superfície externa lateral da garrafa — top e bottom negligenciáveis para o critério, pois cancelam lineares em L_c; se quiser incluir tampas o procedimento é similar):
  • Volume do material do cilindro de comprimento L (comprimento cancela depois):
V=\pi\left(r_o^2-r_i^2\right)L.
  • Área externa lateral para convecção:
A=2\pi r_o L.
  • Logo
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\pi\left(r_o^2-r_i^2\right)L}{2\pi r_o L}=\frac{r_o^2-r_i^2}{2r_o}.
Podemos manipular a expressão usando r_o=r_i+t:
r_o^2-r_i^2=(r_o-r_i)(r_o+r_i)=t\,(r_o+r_i),
então
L_c=\frac{t\,(r_o+r_i)}{2r_o}.
Isto é intuitivamente da ordem de grandeza da espessura t (normalmente L_c\sim t/2 para paredes planas), mas aqui ajustado para curvatura cilíndrica.

Passo 4

Calcular numericamente L_c com os valores dados (tudo em metros):
  • r_i=0{,}03\\ \mathrm{m}, r_o=0{,}036\\ \mathrm{m}, t=0{,}006\\ \mathrm{m}.
  • Usando a fórmula:
L_c=\frac{t\,(r_o+r_i)}{2r_o}=\frac{0{,}006\cdot(0{,}036+0{,}03)}{2\cdot 0{,}036}.
Calcule passo a passo:
r_o+r_i=0{,}036+0{,}03=0{,}066\\ \mathrm{m},
t\,(r_o+r_i)=0{,}006\times 0{,}066=0{,}000396\\ \mathrm{m^2},
2r_o=2\times 0{,}036=0{,}072\\ \mathrm{m},
L_c=\frac{0{,}000396}{0{,}072}=0{,}0055\\ \mathrm{m}=5{,}5\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular o número de Biot e comparar com o critério:
  • Valores: h=40\\ \mathrm{W/(m^2K)}, k=1{,}2\\ \mathrm{W/(m\,K)}, L_c=0{,}0055\\ \mathrm{m}.
  • Então
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{40\cdot 0{,}0055}{1{,}2}.
Calcule:
40\cdot 0{,}0055=0{,}22,
\mathrm{Bi}=\frac{0{,}22}{1{,}2}\approx 0{,}1833\\ (\approx 0{,}18).

Passo 6

Interpretação e conclusão (justificando):
  • O critério padrão para usar o método da capacitância global é \mathrm{Bi}\lesssim 0{,}1.
  • Encontramos \mathrm{Bi}\approx 0{,}18, ou seja \mathrm{Bi}>0{,}1.
  • Conclusão: o método da capacitância global NÃO é estritamente aplicável aqui, porque a resistência interna por condução no vidro não é desprezível em relação à resistência de convecção externa — espera-se gradiente de temperatura através da espessura do vidro durante o resfriamento.
  • Observação prática e alternativa: \mathrm{Bi}=0{,}18 não é gigantesco; significa que o erro ao usar lumped poderia ser do tipo dezenas de percentuais dependendo da precisão exigida. Se a empresa aceita uma estimativa grosseira e erro de vários por cento pode-se usar lumped como aproximação rápida, mas se for necessária previsão precisa do transiente térmico do vidro deve-se resolver o problema transiente de condução radial numa casca cilíndrica (solução analítica por séries próprias ou simulação numérica 1D radial). Outra alternativa prática é reduzir h (não desejável) ou usar um vidro mais condutor (improvável) para diminuir \mathrm{Bi}.

Resposta

Não — \mathrm{Bi}\approx 0{,}18>0{,}1, logo o método da capacitância global não é adequado (há gradientes internos significativos).

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