2- (20) Uma empresa de alimentos precisa resfriar rapidamente garrafas cilíndricas de suco aquecido a
, antes do envase. As garrafas, feitas de vidro com 6 mm de espessura e diâmetro interno de 6 cm , são colocadas em uma câmara onde a temperatura do ar é mantida a
, com coeficiente de convecção
. O vidro possui condutividade térmica
, calor específico cp
, e massa específica
. A empresa deseja saber se pode aplicar o método da capacitância global para prever a variação de temperatura do vidro ao longo do tempo. Verifique se o método da capacitância global pode ser utilizado, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique se é possível usar o método da capacitância global (método de corpo lumped) para prever a variação de temperatura do vidro da garrafa. Informações fornecidas (peguei todos esses valores do enunciado):
- Temperatura inicial do vidro:
. - Temperatura do ar da câmara:
. - Coeficiente de convecção externo:
. - Espessura do vidro:
. - Diâmetro interno da garrafa:
→ raio interno . - Raio externo:
. - Condutividade térmica do vidro:
. - Calor específico do vidro:
. - Massa específica do vidro:
.
O que devo responder: verificar se o método da capacitância global pode ser utilizado, e justificar.
Passo 2
Conceito e critério do método da capacitância global (explicação didática):
- O método da capacitância global (lumped capacitance) assume que o corpo tem temperatura uniforma no seu volume durante o transiente térmico; isto é, as resistências internas por condução são desprezíveis em relação à resistência de convecção na superfície.
- Para avaliar essa hipótese usa-se o número de Biot, definido por
onde:
-
é o coeficiente de transferência convectiva entre superfície e fluido ( ); -
é a condutividade térmica do sólido ( ); -
é o comprimento característico térmico do corpo, normalmente definido como
com
volume do sólido e
área de troca convectiva.
- Regra prática (critério padrão): o método lumped é considerado aceitável quando
. Esse limite garante que gradientes de temperatura internos sejam pequenos (erro típico aceitável de poucos por cento). Se , não se pode garantir uniformidade de temperatura interna e deve-se resolver a equação transiente de condução (solução analítica ou numérica) em vez do modelo lumped.
Passo 3
Determinar
para a parede cilíndrica (mostrando como obter
e
; suponho que a troca convectiva ocorra pela superfície externa lateral da garrafa — top e bottom negligenciáveis para o critério, pois cancelam lineares em
; se quiser incluir tampas o procedimento é similar):
- Volume do material do cilindro de comprimento
(comprimento cancela depois):
- Área externa lateral para convecção:
- Logo
Podemos manipular a expressão usando
:
então
Isto é intuitivamente da ordem de grandeza da espessura
(normalmente
para paredes planas), mas aqui ajustado para curvatura cilíndrica.
Passo 4
Calcular numericamente
com os valores dados (tudo em metros):
-
, , . - Usando a fórmula:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Calcular o número de Biot e comparar com o critério:
- Valores:
, , . - Então
Calcule:
Passo 6
Interpretação e conclusão (justificando):
- O critério padrão para usar o método da capacitância global é
. - Encontramos
, ou seja . - Conclusão: o método da capacitância global NÃO é estritamente aplicável aqui, porque a resistência interna por condução no vidro não é desprezível em relação à resistência de convecção externa — espera-se gradiente de temperatura através da espessura do vidro durante o resfriamento.
- Observação prática e alternativa:
não é gigantesco; significa que o erro ao usar lumped poderia ser do tipo dezenas de percentuais dependendo da precisão exigida. Se a empresa aceita uma estimativa grosseira e erro de vários por cento pode-se usar lumped como aproximação rápida, mas se for necessária previsão precisa do transiente térmico do vidro deve-se resolver o problema transiente de condução radial numa casca cilíndrica (solução analítica por séries próprias ou simulação numérica 1D radial). Outra alternativa prática é reduzir (não desejável) ou usar um vidro mais condutor (improvável) para diminuir .
Resposta
Não —
, logo o método da capacitância global não é adequado (há gradientes internos significativos).