Óleo de motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro \mathrm{D}=0,2 \mathrm{~m} e comprimento \mathrm{L}=10 \mathrm{~m}, cuja superfície é mantida em 200^{\circ} \mathrm{C}. Se a vazão de escoamento e a temperatura do óleo na entrada do tubo forem de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e 70^{\circ} \mathrm{C}, qual é o coeficiente de transferência de calor por convecção médio (\bar{h}) no tubo? Considere as propriedades do óleo a 350 K .
Propriedades do óleo de motor a 350 K : \rho=852 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, v=37.5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \mathrm{k}=138 \times 10^{-3} \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=490, \mu=\rho \cdot v=0.032 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}, \mathrm{cp}=2131 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o coeficiente médio de transferência de calor por convecção \bar{h} para óleo que escoa dentro de um tubo circular, cujos dados (pego da figura) são listados abaixo.
Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem enviada):
  • Temperatura da parede: T_s = 200^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro do tubo: D = 0{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo: L = 10\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica: \dot{m} = 10\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura média de entrada do óleo: T_{m,\text{ent}} = 70^\circ\mathrm{C}.
Propriedades do óleo (fornecidas, avaliadas a 350\\ \mathrm{K}):
  • Densidade: \rho = 852\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade cinemática: \nu = 37{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Condutividade térmica: k = 138\times10^{-3}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Número de Prandtl: \Pr = 490.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=\rho\nu=0{,}032\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Calor específico: c_p = 2131\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que tenho que encontrar: o valor numérico de \bar{h} (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}), usando as propriedades fornecidas e a situação apresentada.

Passo 2

Plano de resolução (passos que vamos executar, sem calcular ainda):
  • Calcular a velocidade média do escoamento V a partir da vazão mássica e da densidade.
  • Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu} para saber o regime de escoamento (laminar/turbulento).
  • Determinar se a região térmica está desenvolvida ou em entrada, usando o parâmetro de entrada térmica (comprimento de entrada térmico aproximado ou o parâmetro de Graetz).
  • Escolher uma correlação apropriada para a média do número de Nusselt \overline{\mathrm{Nu}} (pois \bar{h}=\dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}\;k}{D}).
  • Calcular \overline{\mathrm{Nu}} pela correlação escolhida e então \bar{h}.
    Observação: As propriedades do fluido foram fornecidas para 350\\ \mathrm{K}. Vou assumir propriedades constantes e utilizá‑las diretamente (é a prática comum em exercícios quando se dá um conjunto de propriedades a uma temperatura representativa). Isso simplifica e é razoável neste problema.

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica Q e a velocidade média V.
Fórmulas:
Q=\dfrac{\dot{m}}{\rho},\qquad A=\dfrac{\pi D^{2}}{4},\qquad V=\dfrac{Q}{A}.
Cálculos (colocando os números):
Q=\dfrac{10}{852}=0{,}011734\\ \mathrm{m^3/s}.
A=\dfrac{\pi (0{,}2)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}01=0{,}0314159\\ \mathrm{m^2}.
V=\dfrac{0{,}011734}{0{,}0314159}=0{,}3737\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: Q é o volume por segundo que passa; dividindo pela área da secção dá a velocidade média V. Até aqui tudo direto — sem drama!

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e classificar o regime.
Fórmula:
\mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\dfrac{0{,}3737\times 0{,}2}{37{,}5\times 10^{-6}}=\dfrac{0{,}07474}{37{,}5\times10^{-6}}\approx 1{,}99\times10^{3}.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 1{,}99\times10^{3}<2300. Portanto o escoamento é laminar. Importante, porque as correlações para \mathrm{Nu} dependem fortemente do regime.

Passo 5

Avaliar o comprimento de entrada térmico e o parâmetro de Graetz para saber se a camada térmica está desenvolvida.
Fórmula aproximada para comprimento de entrada térmico (térmico):
L_{th}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\Pr\,D.
Cálculo:
L_{th}\approx 0{,}05\times(1{,}99\times10^{3})\times 490\times 0{,}2.
L_{th}\approx 0{,}05\times 1990\times 98 \approx 0{,}05\times 195020 \approx 9751\\ \mathrm{m}.
Interpretação: L_{th} é enorme (da ordem de milhares de metros) por causa do \Pr muito grande; portanto ao longo dos 10\\ \mathrm{m} do tubo o campo térmico está fortemente em região de entrada (isto é, não atinge a condição termicamente totalmente desenvolvida). Para caracterizar a influência da entrada usamos o parâmetro de Graetz:
\mathrm{Gz}=\dfrac{\mathrm{Re}\,\Pr\,D}{L}.
Cálculo:
\mathrm{Gz}=\dfrac{1{,}993\times10^{3}\times 490\times 0{,}2}{10}\approx 1,95\times10^{4}.
Grande \mathrm{Gz} indica forte efeito de entrada térmica (regime de “entrada térmica curta”, onde as contribuições de entrada dominam a transferência).

Passo 6

Escolher a correlação para \overline{\mathrm{Nu}}.
Justificativa didática: para escoamento laminar em tubo circular com parede a temperatura constante, o valor assintótico (termicamente totalmente desenvolvido) é \mathrm{Nu}=3{,}66. Porém, quando a região de entrada térmica é importante (como aqui), existe uma correlação empírica que funciona bem para o número de Nusselt médio combinando o limite totalmente desenvolvido e a contribuição do regime de entrada. Uma forma comum (usada em problemas de engenharia) é:
\overline{\mathrm{Nu}} = 3{,}66 + \dfrac{0{,}0668\,\mathrm{Gz}}{1 + 0{,}04\,\mathrm{Gz}^{2/3}},
onde \mathrm{Gz}=\dfrac{\mathrm{Re}\,\Pr\,D}{L}. Essa fórmula dá \overline{\mathrm{Nu}}\to 3{,}66 quando \mathrm{Gz} é pequeno (regime desenvolvido) e cresce quando \mathrm{Gz} é grande, refletindo o efeito da entrada térmica. Vou usar essa correlação (é a escolha prática e aceita em exercícios de transferência de calor).

Passo 7

Calcular \overline{\mathrm{Nu}} usando a correlação.
Relembrando \mathrm{Gz}\approx 1{,}953\times10^{4}.
Primeiro calcular \mathrm{Gz}^{2/3}. (Somente exponenciação e aritmética, mostrado passo a passo)
\mathrm{Gz}^{2/3}\approx (1{,}953\times10^{4})^{2/3}\approx 7{,}25\times10^{2}.
Agora a fração da correlação:
\frac{0{,}0668\,\mathrm{Gz}}{1+0{,}04\,\mathrm{Gz}^{2/3}} =\frac{0{,}0668\times 1{,}953\times10^{4}}{1+0{,}04\times 7{,}25\times10^{2}}.
Calcule numerador:
0{,}0668\times 1{,}953\times10^{4}\approx 1304.
Calcule denominador:
1+0{,}04\times 725 \approx 1+29{,}0 \approx 30{,}0.
Portanto a fração ≈ 1304/30{,}0\approx 43{,}5.
Somando o termo constante:
\overline{\mathrm{Nu}}\approx 3{,}66 + 43{,}5 \approx 47{,}2.
Breve interpretação: \overline{\mathrm{Nu}}\approx 47{,}2 é muito maior que 3,66 porque a forte entrada térmica (alta \Pr e comprimento finito) aumenta a transferência média ao longo do tubo.

Passo 8

Calcular o coeficiente médio de convecção \bar{h} a partir de \overline{\mathrm{Nu}}.
Fórmula:
\bar{h}=\dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}\;k}{D}.
Substituindo números:
\bar{h}=\dfrac{47{,}2\times 0{,}138}{0{,}2}=\dfrac{6{,}5136}{0{,}2}=32{,}568\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando para duas casas significativas coerentes com dados do problema:
\bar{h}\approx 32{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 9

Comentários finais e verificação das hipóteses (pra prova e para você não se desesperar):
  • Usei as propriedades fornecidas a 350\\ \mathrm{K} como constantes (é o que se faz em muitos exercícios). Em uma análise mais precisa, poderia-se iterar usando temperatura de filme entre T_s e T_{m,\text{médio}}é.
  • O escoamento é laminar ( \mathrm{Re}\approx 1{,}99\times10^3), e o comprimento de entrada térmico é muito maior que L por causa do \Pr enorme, por isso a correlação que inclui efeito de entrada foi apropriada.
  • A correlação usada é empírica e adequada para engenharia; o valor final \bar{h}\approx 32{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} é razoável para óleo lento e de alta viscosidade.
  • Dica rápida para prova: calcule sempre \mathrm{Re} e \mathrm{Gz}. Se \mathrm{Re}<2300 e \mathrm{Gz} grande, espere entrada térmica forte e use a correlação apresentada.

Resposta

\bar{h}\approx 32{,}5\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}

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